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記事No.65105に関するスレッドです
★ 数学?UB・図形と式 / はる
問）点（1, 5）を中心とし、直線4x-3y+1＝0に接する円の方程式を求めよ。

という問に対し、写真の通りに計算をしたところ、円の半径の2乗が負の数という変な結果になってしまい、間違ってそうな箇所や計算ミスを探したのですが、なぜこのような答えになってしまったのかが未だに理解できておりません。
点と直線の距離の公式を用いれば簡単に答えが求まることは理解しておりますが、それを踏まえたうえで私の考え方のどこが間違っているのかをお教えいただけると幸いです。

問題の答え自体は、(x-1)^2+(y-5)^2=4 です。よろしくお願いします。
No.65105 - 2020/05/09(Sat) 17:42:46
☆ Re: 数学?UB・図形と式 / らすかる
接線の公式がpx+qy=r^2となるのは、円の中心が原点の場合です。
円の中心が(1,5)の場合は(p-1)(x-1)+(q-5)(y-5)=r^2ですから
4x-3y+1=0
4(x-1)-3(y-5)=10
(2/5)r^2(x-1)-(3/10)r^2(y-5)=r^2
これより
(2/5)r^2=13/5-1, -(3/10)r^2=19/5-5
となって正しい答えが得られます。
しかしそんなややこしいことをする必要はありません。
接点が(13/5,19/5)と求まったら、
円の方程式に代入すればrが求まります。
No.65106 - 2020/05/09(Sat) 18:22:57
☆ Re: 数学?UB・図形と式 / はる
ご回答ありがとうございます。
px+qy＝r＾2が原点の時の公式であるということをすっかり失念しておりました。
非常に納得できました。

また、円の方程式に入れれば求まるということも言われて気づきました。ありがとうございます。
精進します。
No.65109 - 2020/05/09(Sat) 19:09:34