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記事No.65166に関するスレッドです
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(No Subject)
/ ノア
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次の問題教えてください。
No.65166 - 2020/05/11(Mon) 13:00:48
☆
Re:
/ 関数電卓
引用
(後半)
a
1
＝1, a
n+1
＝√(2＋a
n
) …<1>
(1) 数学的帰納法で示す。
n＝1 のとき, a
1
＝1＜2 で成立。
n＝k のときの成立を仮定する。即ち 2−a
k
＞0 …<2> を仮定。
n＝k＋1 のとき, 2−a
k+1
＝2−√(2＋a
k
)＝(2−a
k
)/(2＋√(2＋a
k
)＞0 (∵ <2>)
以上より，すべての自然数 n について 2−a
n
＞0 [証了]
(2)
a
n+1
−a
n
＝√(2＋a
n
)−a
n
＝(2＋a
n
−a
n
2
)/(√(2＋a
n
)＋a
n
)
＝(2−a
n
)(1＋a
n
)/(√(2＋a
n
)＋a
n
)＞0
(∵ (1)の結果及び<1>より明らかに a
n
＞0) [証了]
(3)
(1)(2)より，a
n
は上に有界な単調増加数列だから収束する。
極限値を x とすれば<1>より x＝√(2＋x)。 x＞0 でこれを解いて，x＝2
∴ lim[n→∞]a
n
＝
2
No.65196 - 2020/05/11(Mon) 22:46:49
