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記事No.6521に関するスレッドです
★ 空間図形 / マルス
長さ2の線分ＮＳを直径とする球面Ｋがある。点Ｓにおいて球面Ｋに接する平面の上の点で、Ｓを中心とする半径2の四分円（円周の1/4の長さをもつ円弧）ＡＢと線分ＡＢをあわせて得られる曲線上を、点Ｐが1周する。このとき、線分ＮＰと球面Ｋとの交点Ｑの描く曲線の長さを求めよ。

Ｋを中心（0,0,1）、半径2の球、Ａ（2,0,0）、Ｂ（0,2,0）とおくのがいいんじゃないかと思い付きましたが、ここから先がまったく進まないです。この問題の解き方を教えてください。お願いします。
No.6492 - 2009/06/28(Sun) 21:51:43
☆ Re: 空間図形 / angel
座標の設定はそれで良いかと思います。
さて、この問題では、Pが円弧AB上を通る時と、線分AB上を通る時とを別の問題として分けて考えた方が良いでしょう。

PがAと一致する場合 Qは(1,0,1)、PがBと一致する場合 Qは(0,1,1) となります。これをそれぞれQa, Qbと置く事にしましょう。

PがAと一致する場合、球面Kとxz平面の交わりである円とその直径 SN, A, Qa が同一平面上に現れるわけですが、今度はPが円弧AB上を動くと考えると、この円・SN, A, Qa の位置関係がそのままに、z軸を軸として回転していくようなイメージになります。
つまり、Qの軌跡は、xy平面に平行な円弧QaQb ( 球面Kの一部 ) であり、この中心角は明らかに90°です。

逆に、Pが線分AB上を動くことを考えると、Qは、球面Kと平面NAB ( x+y+z=2 (訂正)) の交わりの上を動きます。この交わりというのは、Kの中心(0,0,1)から平面NABに降ろした垂線の足(1/3, 1/3, 4/3) (訂正)を中心とする円です。
ということで、結局Qの描く曲線は、この円の円弧QaQbとなります。
この時、中心角は120°(訂正)になるのですが、これはQa,Qb,円の中心の位置関係から計算した方が良いでしょう。
No.6502 - 2009/06/29(Mon) 00:58:49
☆ Re: 空間図形 / マルス
詳しく教えてくれてありがとうございます。

”この円・SN, A, Qa の位置関係がそのままに、z軸を軸として回転していくようなイメージになります。”
イメージ力がないもので、どうしてそうなるかわからないです…

”平面NAB ( x+y+z=1 )”
これもよくわからないです。x+y+z=1はなんでしょうか？

”この交わりというのは、Kの中心(0,0,1)から平面NABに降ろした垂線の足(2/3, 2/3, 5/3) を中心とする円です。”
ここのところももう少し詳しく教えてもらえないでしょうか？お願いします。
No.6516 - 2009/06/30(Tue) 05:33:01
☆ Re: 空間図形 / angel
ごめんなさい。
後半部分の数字に相当間違いがありました。紛らわしいので訂正しました。( (訂正)とついている部分 )

1. z軸を軸として回転していくようなイメージ
　コンパスか何かで、実際に動かしてみると良いでしょう。
　コンパスの針のついている軸を紙に垂直に立てて、くるりと回すと、ペンの部分の先端が円を描くのですが、ペンの途中にある点も同じように空中で、紙に平行な見えない面上で円を描きます。

　それを踏まえて、P が円弧AB上を動くとき、球面Kを平面NSPで切断した断面は常に同じ形です。なので、点Qはxy平面から見て常に同じ高さにあり、ABと同じ中心角90°の円弧を描くことになります。

2. 平面NAB ( x+y+z=1 )
　x+y+z=2 の間違いでした。上で訂正しました。
　N(0,0,2), A(2,0,0), B(0,2,0) の3点を通る平面の方程式を求めるとこうなります。

3. Kの中心から平面NABに降ろした垂線の足を中心とする円
　Pが線分AB上を描く時、Qの描く軌跡は、平面NABによる球面Kの切り口の一部となります。
　で一般論として、球面と平面の交わりは必ず円になり、その円の中心は、球面の中心からその平面に下ろした垂線の足です。( 平面幾何で、「円と直線の2交点の中点は、その直線に円の中心から下ろした垂線の足と一致する」というのがあったと思いますが、同じことです )
　ということで、Kの中心から平面NABにおろした垂線の足を計算で求めていくことになります。
No.6520 - 2009/06/30(Tue) 13:13:42
☆ Re: 空間図形 / ヨッシー
こんな感じです。

画像が一枚しか貼れないので、あとでもう１つ貼ります。
No.6521 - 2009/06/30(Tue) 17:22:53
☆ Re: 空間図形 / ヨッシー
今度は、直線の代わりに、座標軸の方を動かしてみます。
弧ＡＢを動いている間は、線分が動いていないことがわかります。
つまり、線分は、ｚ軸に対して、同じ角度のままであるということです。
No.6522 - 2009/06/30(Tue) 17:29:39
☆ Re: 空間図形 / angel
ヨッシーさんも図を載せられていますが、私も図を載せてみました。百聞は一見に如かず、ということで。
なお、図中 H は 球面の中心から平面NABに下ろした垂線の足ですが、N,Qa,Qb を通る円の中心であり、△NQaQb の外心でもあります。
今、△NQaQbは正三角形なので外心Hは重心とも一致します…、という線で攻めた方が、計算は楽でしょう。
No.6531 - 2009/07/01(Wed) 17:08:51