長さ2の線分NSを直径とする球面Kがある。点Sにおいて球面Kに接する平面の上の点で、Sを中心とする半径2の四分円(円周の1/4の長さをもつ円弧)ABと線分ABをあわせて得られる曲線上を、点Pが1周する。このとき、線分NPと球面Kとの交点Qの描く曲線の長さを求めよ。
Kを中心(0,0,1)、半径2の球、A(2,0,0)、B(0,2,0)とおくのがいいんじゃないかと思い付きましたが、ここから先がまったく進まないです。この問題の解き方を教えてください。お願いします。
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No.6492 - 2009/06/28(Sun) 21:51:43
| ☆ Re: 空間図形 / angel | | | 座標の設定はそれで良いかと思います。 さて、この問題では、Pが円弧AB上を通る時と、線分AB上を通る時とを別の問題として分けて考えた方が良いでしょう。
PがAと一致する場合 Qは(1,0,1)、PがBと一致する場合 Qは(0,1,1) となります。これをそれぞれQa, Qbと置く事にしましょう。
PがAと一致する場合、球面Kとxz平面の交わりである円とその直径 SN, A, Qa が同一平面上に現れるわけですが、今度はPが円弧AB上を動くと考えると、この円・SN, A, Qa の位置関係がそのままに、z軸を軸として回転していくようなイメージになります。 つまり、Qの軌跡は、xy平面に平行な円弧QaQb ( 球面Kの一部 ) であり、この中心角は明らかに90°です。
逆に、Pが線分AB上を動くことを考えると、Qは、球面Kと平面NAB ( x+y+z=2 (訂正)) の交わりの上を動きます。この交わりというのは、Kの中心(0,0,1)から平面NABに降ろした垂線の足(1/3, 1/3, 4/3) (訂正)を中心とする円です。 ということで、結局Qの描く曲線は、この円の円弧QaQbとなります。 この時、中心角は120°(訂正)になるのですが、これはQa,Qb,円の中心の位置関係から計算した方が良いでしょう。
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No.6502 - 2009/06/29(Mon) 00:58:49 |
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