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記事No.65545に関するスレッドです
★
(No Subject)
/ よーた
引用
分からないので教えてください。よろしくお願いします。
No.65545 - 2020/05/19(Tue) 08:38:34
☆
Re:
/ トーカ
引用
(1)まずy=sin^-1(x)をxで微分する
y'=1/√(1-x^2)
√(1-x^2)・y'=1
両辺をxで微分する
√(1-x^2)y''-x/√(1-x^2)・y'=0
(1-x^2)y''-xy'=0
この両辺をライプニッツの公式を使ってxでn回微分すると目的の式が示せます。
(2)(1)で示した式でx=0とすれば
y^(n+2)(0)=n^2y^(n)(0)
nをn-2に置き換えて
y^(n)(0)=(n-2)^2y^(n-2)(0) ・・・?@
ただしy^(n)はyをn回微分した式という意味
あとは?@でnを2ずつ減らしていけば
nが奇数のとき
y^(n)(0)=(n-2)^2y^(n)(0)
=(n-2)^2・(n-4)^2y^(n-2)(0)
=(n-2)^2・(n-4)^2・・・・3＾2・1＾2y'(0)
=(n-2)^2・(n-4)^2・・・・3＾2・1＾2
∵y'(0)=1
nが偶数のときは y(0)=sin^-1(0)＝0よりy^(n)(0)=0
No.65598 - 2020/05/19(Tue) 21:34:09
