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記事No.65556に関するスレッドです
★ 被積分関数にガウス記号 / nct
この式の答えが1/δdになるまでの過程を教えて貰いたいです．
積分範囲を分割すればできそうな気もしますが，dはどこから出てくるのでしょうか？
No.65556 - 2020/05/19(Tue) 12:49:15
☆ Re: 被積分関数にガウス記号 / X
＞＞積分範囲を分割すればできそうな気もしますが
ではそのように計算してみます。

(左辺)=lim[n→∞]Σ[k=0〜n](k+1)∫[k→k+1]{e^(-δt)}dt
=lim[n→∞](1/δ){1-e^(-δ)}Σ[k=0〜n](k+1)e^(-δk) (A)

ここで
S[n]=Σ[k=0〜n](k+1)e^(-δk) (B)
と置くと
{e^(-δ)}S[n]=Σ[k=0〜n](k+1)e^(-δ(k+1))
=Σ[k=1〜n+1]ke^(-δk) (C)
(k+1を改めてkと置いた)
(B)-(C)より
{1-e^(-δ)}S[n]=Σ[k=0〜n]e^(-δk)-(n+1)e^(-δ(n+1))
={1-e^{-δ(n+1)}}/{1-e^(-δ)}-(n+1)e^{-δ(n+1)}
∴S[n]={1-e^{-δ(n+1)}}/{1-e^(-δ)}^2-(n+1){e^{-δ(n+1)}}//{1-e^(-δ)}
よって(A)より
(左辺)=1/{δ{1-e^(-δ)}}

ということで
1-e^(-δ)=d
と置いているのだと思います。
No.65583 - 2020/05/19(Tue) 18:31:00
☆ Re: 被積分関数にガウス記号 / X
＞＞積分範囲を分割すればできそうな気もしますが
ではそのように計算してみます。

(左辺)=lim[n→∞]Σ[k=0〜n](k+1)∫[k→k+1]{e^(-δt)}dt
=lim[n→∞](1/δ){1-e^(-δ)}Σ[k=0〜n](k+1)e^(-δk) (A)

ここで
S[n]=Σ[k=0〜n](k+1)e^(-δk) (B)
と置くと
{e^(-δ)}S[n]=Σ[k=0〜n](k+1)e^(-δ(k+1))
=Σ[k=1〜n+1]ke^(-δk) (C)
(k+1を改めてkと置いた)
(B)-(C)より
{1-e^(-δ)}S[n]=Σ[k=0〜n]e^(-δk)-(n+1)e^(-δ(n+1))
={1-e^{-δ(n+1)}}/{1-e^(-δ)}-(n+1)e^{-δ(n+1)}
∴S[n]={1-e^{-δ(n+1)}}/{1-e^(-δ)}^2-(n+1){e^{-δ(n+1)}}/{1-e^(-δ)}
よって(A)より
(左辺)=1/{δ{1-e^(-δ)}}

ということで
1-e^(-δ)=d
と置いているのだと思います。
No.65584 - 2020/05/19(Tue) 18:32:05
☆ Re: 被積分関数にガウス記号 / nct
返信おそくなって申し訳ないです．
理解することができました．
ありがとうございました．
No.65676 - 2020/05/21(Thu) 10:54:50