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記事No.65682に関するスレッドです
★ ε-Nについて / meow
この問題が∞に発散するには，どのように証明すればよいでしょうか？
r=1+hと置き，r^2=(1+h)^2について二項定理を使い展開し，アルキメデスの原理の原理を用いて証明したいのですが，分母のn^2をどのように扱えば良いのかわかりません．
No.65682 - 2020/05/21(Thu) 15:16:16
☆ Re: ε-Nについて / IT
>r^2=(1+h)^2について二項定理を使い展開し
r^n＝(1+h)^n ですよね？
まず、これを適当なところまで展開してみてから考えるといいです。
No.65688 - 2020/05/21(Thu) 19:11:15
☆ Re: ε-Nについて / meow
間違えました．そうです！
r^n=(1+h)^nです．

(1+h)^n=1+nh+{n(n-1)/2!}h^2+.....
となると思うのですが，これから
r^n > nh
となり，K>0に対して，Nh>Kとなるような自然数Nをとって，そのNより大きいnに対して
r^n > nh > Nh > K
になるので，r^n自体が発散するのはわかりました．

あとこれは1>rだという条件もついていました．
No.65692 - 2020/05/21(Thu) 21:08:33
☆ Re: ε-Nについて / らすかる
1>rじゃ「=∞」になりませんよ。
それはともかくとして、
(1+h)^nの展開をあと1項増やせば、n^2で割ったものも発散することがわかります。
（ITさんが「適当なところまで」と書かれたのはそういう意味だと思います。）
No.65693 - 2020/05/21(Thu) 21:13:11
☆ Re: ε-Nについて / meow
そうです．すみません...
1<rです．
最後まで確認不足でした．

1項増やすというのは，{n(n-1)(n-2)}/3!*h^3ということでしょうか？

添付した画像をn^2で割れば，分母にnが残り...
という流れでしょうか？
No.65697 - 2020/05/21(Thu) 21:44:58
☆ Re: ε-Nについて / らすかる
「分母に」じゃなくて「分子に」と言いたかったんですよね？
分子にnが残れば、それにどんなに小さい定数がかかっていても
n→∞のとき∞になりますね。
あと、分子の2nなどの項は先に消す必要はありません。分子分母をn^2で割れば2nは2/nになりますのでn→∞のとき0になって消えます。
よって、三次までの項を整理してn^2で割ればOKです。
No.65710 - 2020/05/22(Fri) 00:24:29
☆ Re: ε-Nについて / meow
みなさん回答ありがとうございます．
分子です!
n→∞のとき2/nが0になるというのは，証明内で用いて良いのでしょうか？一応ε-N論法を用いた方が良いのでしょうか?

とりあえず発散することの証明はできそうです．
みなさんありがとうございました．
No.65711 - 2020/05/22(Fri) 01:02:22