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記事No.65717に関するスレッドです
★
(No Subject)
/ ラ変
引用
どうやってやるんでしょうか。
No.65717 - 2020/05/22(Fri) 12:58:02
☆
Re:
/ X
引用
問題の漸化式を(A)とします。
(1)
収束すると仮定して、その値をtとすると(A)から
t=(1/3)t^2+2/3
これより
t^2-3t+2=0
t=1,2
∴極限値は1又は2と予想できます。
問題はαの値の範囲ですがこれは以下のように考えます。
(A)から
a[n+1]-a[n]=(1/3)a[n]^2+2/3-a[n]
=(1/3)(a[n]-1)(a[n]-2)
よって
(I)a[n]＜1,2＜a[n]のとき、a[n]＜a[n+1]
つまりa[n]に対しa[n+1]は増加
(II)1＜a[n]＜2のとき、a[n+1]＜a[n]
つまりa[n]に対しa[n+1]は減少
(III)a[n]=1,2のとき、a[n+1]=a[n]
以上から少なくとも
2＜α
の場合は{a[n]}は予想される最大の
収束の値である2より大きい値の範囲で
単調増加となり題意を満たしません。
以上から
α≦2
が予想されます。
No.65718 - 2020/05/22(Fri) 15:44:53
☆
Re:
/ IT
引用
(2) a[2]は、αの正負によらないのでa[2]から考えた方が少し簡単です。
-2≦α≦2が必要条件であることは、既に示しておられるようなので、十分条件であることを示し極限値を求めます。
f(x)=(1/3)x^2+2/3 とおくと a[n+1]=f(a[n]) .
β＝a[2]とおく、 -2≦α≦2 のとき 2/3≦β≦2
2/3≦β≦1のとき
2/3≦x＜1 において,2/3≦x＜f(x)＜1 であり、f(1)＝１なので
n≧2について
2/3≦β≦a[n]≦1 ∴0＜(1+a[n])/3≦2/3…(ア)
0≦1-a[n+1] ＝ (1/3)(1-a[n]^2)
＝{(1+a[n])/3}(1-a[n])
≦(2/3)(1-a[n]) ∵(ア)
≦{(2/3)^(n-1)}(1-a[2])→0(n→∞)
1＜β＜2のとき
1＜x＜2 において, 1＜f(x)＜x＜2 なので
n≧2について
1＜a[n]≦β＜2,∴ 2＜a[n]+1≦β+1＜3 …(イ)
0＜a[n+1]-1＝(1/3)(a[n]^2-1)
＝{(a[n]+1)/3}(a[n]-1)
≦((β+1)/3)(a[n]-1) ∵（イ）
≦{((β+1)/3)^(n-1)}(a[2]-1)→0(n→∞)
β＝2のとき
a[3]=(1/3)4+2/3=2、よって 任意の自然数nについて a[n+1]=2
こんな感じでどうでしょうか？
No.65723 - 2020/05/22(Fri) 22:09:01
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Re:
/ ラ変
引用
その証明はいいかと思います。ありがとうございます。しかし問題から判断するにα＜-2,2＜αにおいて発散することも証明しなければいけないと思います。それはどのように証明すればいいでしょうか。
No.65730 - 2020/05/23(Sat) 12:28:05
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Re:
/ IT
引用
α＜-2,2＜α のとき β＞2
β＝2+h (h＞0）とおける。
a[3]=(1/3)(2+h)^2+2/3=2+(4/3)h+(h^2)/3＞2+(4/3)h
a[4]＞2+{(4/3)^2}h
・・・
a[n+2]＞2+{(4/3)^n}h →∞(n→∞)
これをきちんと書けばよいと思います。
No.65732 - 2020/05/23(Sat) 13:14:52
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Re:
/ ラ変
引用
ありがとうございます。不等式は帰納法を使って証明出来ました。
No.65733 - 2020/05/23(Sat) 14:12:45
