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記事No.65729に関するスレッドです
★ パラメータ表示された一般的な線積分について / にゃにゃし
597ページにおいて第2項は明らかにゼロになりと書かれていますがこれがゼロに収束する理由がよく分かりません。
よく分かっていませんので基礎的なところから教えていただけるとありがたいです。
よろしくお願いします。

対象 大学1年生以上
No.65729 - 2020/05/23(Sat) 12:25:09
☆ Re: パラメータ表示された一般的な線積分について / X
恐らくo(1/N)の意味が理解できていないと思われます。
これについては以下のURLを参照してみて下さい。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%80%E3%82%A6%E3%81%AE%E8%A8%98%E5%8F%B7
ベクトル解析以前に、解析学の教科書でもちょこちょこ出てくる記号ですが
意味が書かれていない場合もあるかもしれません。

要約するとご質問の添付写真におけるo(1/N)とは
Nが十分大きくても高々1/Nの程度の値
という意味になります。
No.65755 - 2020/05/24(Sun) 10:21:07
☆ Re: パラメータ表示された一般的な線積分について / IT
横から失礼します｡

> 要約するとご質問の添付写真におけるo(1/N)とは
> Nが十分大きくても高々1/Nの程度の値
> という意味になります。

ここではスモールＯなので、もう一段小さいオーダーだと思います。
任意のｋ＞0に対して、Ｎを十分大きくとると、ｋ(1／Ｎ）で押さえられる。

なお、どちらかといえば、なぜそう書き表せるのか方が問題だと思います。
No.65757 - 2020/05/24(Sun) 11:29:38
☆ Re: パラメータ表示された一般的な線積分について / にゃにゃし
> 恐らくo(1/N)の意味が理解できていないと思われます。
> これについては以下のURLを参照してみて下さい。
> https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%80%E3%82%A6%E3%81%AE%E8%A8%98%E5%8F%B7

> ベクトル解析以前に、解析学の教科書でもちょこちょこ出てくる記号ですが
> 意味が書かれていない場合もあるかもしれません。
>
> 要約するとご質問の添付写真におけるo(1/N)とは
> Nが十分大きくても高々1/Nの程度の値
> という意味になります。

返信ありがとうございます。
o(1/N)の意味は理解しているつもりだったのですが上手く伝わらなかった又は自分の理解が浅いのでまだよく分かっていないのどちらかと思います。
自分のo(1/N)の認識としては今回でいえばN→∞の時に{1/N}より早くゼロに収束する数列{an}という認識なのですが間違いでしょうか？
その上でlim[N→∞]?納i=1...N]o(1/N)がゼロに収束するのが納得いかないのです。
第2項の状態では(1/N)より早くゼロに近づいても部分和をとったあとまでそれが言えるのかは分からないのではないでしょうか？
No.65758 - 2020/05/24(Sun) 11:32:58
☆ Re: パラメータ表示された一般的な線積分について / にゃにゃし
> 横から失礼します｡
>
> > 要約するとご質問の添付写真におけるo(1/N)とは
> > Nが十分大きくても高々1/Nの程度の値
> > という意味になります。
>
> ここではスモールＯなので、もう一段小さいオーダーだと思います。
> 任意のｋ＞0に対して、Ｎを十分大きくとると、ｋ(1／Ｎ）で押さえられる。
>
> なお、どちらかといえば、なぜそう書き表せるのか方が問題だと思います。

返信ありがとうございます。回答者様が最後の一文で仰る通りなぜそう表されるかということが分かっておりません。よろしくお願い致します。
No.65759 - 2020/05/24(Sun) 11:39:11
☆ Re: パラメータ表示された一般的な線積分について / X
これは元になっている式(10.2.28)の右辺の末項が
o(Δs)
ではなくて
o((Δs)^2)
の誤りだと思います。
(右辺をTaylor展開から持ってきていると考えた場合ですが。)

もしそうだとするなら、ご質問の
o(1/N)
は
o(1/N^2)
となり、部分和を取ったとしても
N・o(1/N^2)→0 (N→∞)
となります。
No.65760 - 2020/05/24(Sun) 12:38:41
☆ Re: パラメータ表示された一般的な線積分について / にゃにゃし
> これは元になっている式(10.2.28)の右辺の末項が
> o(Δs)
> ではなくて
> o((Δs)^2)
> の誤りだと思います。
> (右辺をTaylor展開から持ってきていると考えた場合ですが。)
>
> もしそうだとするなら、ご質問の
> o(1/N)
> は
> o(1/N^2)
> となり、部分和を取ったとしても
> N・o(1/N^2)→0 (N→∞)
> となります。

o(1/N)はlim[N→∞]{an/(1/N)}=0を満たす数列anという認識なので間違っていないと思うのですが部分和がNというのは自明としてしまっていいのでしょうか？(厳密にNではないが次数がNという意味ですよね？)
No.65779 - 2020/05/24(Sun) 17:15:42
☆ Re: パラメータ表示された一般的な線積分について / X
ごめんなさい。o(1/N)の認識を間違えていました。
o((Δs)^2)を持ち出す必要はありませんね。

そういうことであれば、にゃにゃしさんの考えで
ほぼ答えが出ているようなものです。

問題のΣのパラメータiに対して無関係に
o(1/N)と書かれているので、ここでは
敢えてiに対して、o[i](1/N)と書きます。
今、
{|o[i](1/N)||i=1,…,N}のうちの最大値を|o_m(1/N)|と
書くことにすると
0＜|Σ[i=1〜N]o[i](1/N)|＜N|o_m(1/N)|=|o_m(1/N)/(1/N)|
∴はさみうちの原理により
lim[N→∞]Σ[i=1〜N]o[i](1/N)=0

どうでしょうか？
No.65783 - 2020/05/24(Sun) 19:58:28
☆ Re: パラメータ表示された一般的な線積分について / にゃにゃし
> ごめんなさい。o(1/N)の認識を間違えていました。
> o((Δs)^2)を持ち出す必要はありませんね。
>
> そういうことであれば、にゃにゃしさんの考えで
> ほぼ答えが出ているようなものです。
>
> 問題のΣのパラメータiに対して無関係に
> o(1/N)と書かれているので、ここでは
> 敢えてiに対して、o[i](1/N)と書きます。
> 今、
> {o[i](1/N)|i=1,…,N}のうちの最大値をo_m(1/N)と
> 書くことにすると
> 0＜|Σ[i=1〜N]o[i](1/N)|＜|N・o_m(1/N)|=|o_m(1/N)/(1/N)|
> ∴はさみうちの原理により
> lim[N→∞]Σ[i=1〜N]o[i](1/N)=0
>
> どうでしょうか？

返信ありがとうございます。
Xさんの回答に非常に納得することが出来ました。確かに不等式評価の典型的な処理を施せば示せるもので自分の不勉強を思い知らされました。
この度はありがとうございました。
またご縁があればよろしくお願いします。
No.65784 - 2020/05/24(Sun) 20:39:56
☆ Re: パラメータ表示された一般的な線積分について / X
ごめんなさい。
もう見ていないかもしれませんが、No.65783において
誤りがありましたので直接修正しました。
再度ご覧下さい。
No.65791 - 2020/05/24(Sun) 23:59:24