ＡＢ＝3,ＡＣ＝5,cos∠ＢＡＣ＝1/3を満たす△ＡＢＣを底面とし、頂点をＰとする四面体ＰＡＢＣが半径3の球面に内接している。
1.点Ｐが球面上を動き、辺ＡＰの長さが最大となるとき、辺ＢＰの長さを求めよ。
2.点Ｐが球面上を動くとき、四面体ＰＡＢＣの体積の最大値を求めよ。
この問題が分からないので教えて下さい。宜しくお願いします。
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No.6569 - 2009/07/05(Sun) 20:58:06
| ☆ Re: / ヨッシー  | | | まず、色んなわかる数値を計算していきましょう。
△ＡＢＣの面積＝(1/2)ＡＢ・ＡＣsin∠ＢＡＣ
＝(1/2)・３・５・2√2/3＝5√2
ＢＣ2＝９＋２５−２・３・５(1/3)＝２４
より ＢＣ＝2√6
△ＡＢＣの外接円の直径＝ＢＣ/sin∠ＢＡＣ＝2√6÷2√2/3
＝3√3 →半径は3√3/2
△ＡＢＣを含む平面と、半径３の球の中心との距離
＝√{３2−(3√3/2)2}
＝3/2
△ＡＢＣの外接円の中心と、ＡＣとの距離
＝√{(3√3/2)2−(5/2)2}
＝√2/2
以上より、
Ａ(-5/2, -√2/2, -3/2)
Ｂ(-3/2, 3√2/2,-3/2)
Ｃ(5/2,-√2/2, -3/2)
とおくと、半径３の球の中心は(0,0,0) となります。
1. ＡＰが最大のとき、ＡＰが球の直径になるので、
Ｐ(5/2, √2/2, 3/2)
であり、
ＢＰ2＝４2＋√22＋３2
＝２７
ＢＰ＝3√3
2. Ｐが△ＡＢＣからもっとも離れたとき体積最大なので、
Ｐ(0,0,3)
△ＡＢＣを底面としたときの高さは、
3/2＋３＝9/2
よって、求める体積は、
5√2×9/2÷3＝15√2/2
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No.6573 - 2009/07/05(Sun) 22:32:37 |
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