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記事No.65846に関するスレッドです
★ 体積 / Ran
曲線√x+√y+√z=1とxy yz zx 平面で囲まれる立体の体積を求めよ。


という問題で、わたしは、z=tで固定した時の断面積を求めようとしたんですが、計算が複雑で、やったのはやったんですが、あってるか自信がありませんでした。

答えをみてると、⑵でxy平面での断面積が1/6で、それの(1-√t)^2倍というキレイな解き方だったんですけど、

なんでそうわかるんですか？？いうならば相似比的なのが(1-√t)^2より、面積比はその二乗の(1-√t)^4になりませんか？？？

よろしくお願いします。
No.65846 - 2020/05/26(Tue) 15:51:42
☆ Re: 体積 / ヨッシー
√x＋√y＝1 ・・・(i) のグラフと √x＋√y＝ａ ・・・(ii) のグラフを比べたとき、
(i) 上の (m, (1−√m)^2) に対して、(ii) 上のｘ座標 ma^2 の点を考えると、
　ｙ＝(ａ−a√m)^2＝ａ^2(1−√m)^2
より、ａ^2 倍の相似の位置にあります。
よって、(ii) は (i) のａ^2 倍の相似形となります。

つまり、√x＋√y＋√z＝1 において、
　ｚ＝ｔ の断面 √x＋√y＝１−√t は
　ｚ＝０ の断面 √x＋√y＝１ の (１−√t)^2 倍の相似です。
よって、面積は (１−√t)^4 倍になります。

これは、(3) の解答の１行上に書いてあります。
No.65848 - 2020/05/26(Tue) 16:26:45