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記事No.6593に関するスレッドです
★ (No Subject) / shiyo
xy平面上の3本の直線　?@：x-y+2=0, ?A：x+y-14=0,?B：7x-y-10=0で囲まれる三角形に内接する円の方程式を求めよ。

解答　（x-4)^2+(y-8)^2=2　となります。

この問題の途中が解りません。絶対値の箇所で迷っています。
No.6581 - 2009/07/07(Tue) 14:48:45
☆ Re: / ヨッシー
３交点を求めると、
(1)(2) より Ａ：(6,8)
(2)(3) より Ｂ：(3,11)
(3)(1) より Ｃ：(2,4)
ＡＢ＝3√2、ＢＣ＝5√2、ＣＡ＝4√2
ＢＣをAB:BC＝3:4に内分する点(18/7, 8) と点Ａを結んだ
　ｙ＝８
と、ＣＡをBC:AB＝5:3 に内分する点(9/2, 13/2) とＢを結んだ
　ｙ＝−３ｘ＋２０
は、それぞれ、∠Ａ，∠Ｂの二等分線なので、その交点Ｏ：(4,8)
が、内接円の中心であり、半径は、（ＡＢの1/3 で √2 でもいいですが）
△ＡＢＣは直角三角形であり、その面積は、3√2×4√2÷2＝12
一方、内接円の半径をｒとすると、△ＡＯＢ，△ＢＯＣ，△ＣＯＡ
の面積は、(3√2)r/2，(5√2)r/2，(4√2)r/2 で、合計(6√2)ｒ
よって、１２＝(6√2)ｒ よりｒ＝√2

以上より、求める円の式は、上のようになります。　
No.6585 - 2009/07/07(Tue) 17:30:10
☆ Re: / shiyo
ヨッシーさん有り難うございます。

その解き方がありましたね。
理解できました！！
No.6589 - 2009/07/07(Tue) 18:54:49
☆ Re: / angel
蛇足ながら…
直線と点の距離の公式は、絶対値のついた形になっていますが、予め点の存在する領域が分かっていれば、絶対値なしの形になります。
そのため、内接円の半径を r、内接円の中心を(p,q)と置くと、

　r = -(p-q+2)/√2 = -(p+q-14)/√2 = (7p-q-10)/√50

という方程式がたちます。
どちらの領域にあるかは、原点と比較すると楽に判別することができます。
なお、絶対値のままで方程式 ( r=|p-q+2|/√2=|p+q-14|/√2=|7p-q-10|/√50 ) をたてると、(p,q,r) の組み合わせが4通りできます。
内心・内接円に対応する解以外は、3つの傍心・傍接円に対応するものです。
No.6593 - 2009/07/07(Tue) 21:31:07
☆ Re: / shiyo
angelさん有り難うございます。
画像付きで非常に解りやすかったです！！
No.6596 - 2009/07/07(Tue) 22:52:27