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記事No.66040に関するスレッドです
★ (No Subject) / 高３理系
(１)〜(３)までは分かるのですが(４)がどういうテクニックでこうなるのか分かりません教えて頂きたいです。
No.66040 - 2020/05/30(Sat) 17:09:07
☆ Re: / らすかる
a^5-b^5=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)
という公式を使っています。
No.66043 - 2020/05/30(Sat) 17:28:05
☆ Re: / 高３理系
やっぱり公式があったんですね！ありがとうございます
No.66044 - 2020/05/30(Sat) 17:40:42
☆ Re: / ast
> やっぱり公式があった
因数分解の公式として

　x^n-y^n = (x-y)(x^(n-1)+x^(n-2)y+x^(n-3)y^2+…+ xy^(n-2)+y^(n-1)),
とくに
　1-t^n = (1-t)(1+t+t^2+…+t^(n-1))

を覚えてもいいと思いますが, これ要は等比数列の和の公式 (右辺の第二因子がちょうど等比数列) なので, たぶん既知なんですよね (気づきさえすれば, ですが).
No.66049 - 2020/05/30(Sat) 18:26:39
☆ Re: / IT
astさんのおっしゃるとおり、等比数列の和の公式の応用あるいはアナロジーとして発想するのが良いと思います。

なお、
x^n-y^nはx=y のとき０になるので(x-y) を因数に持つことが分ります。
では x^n+y^n はどうでしょう｡
No.66058 - 2020/05/30(Sat) 19:06:06
☆ Re: / トーカ
もう解決されたので別にかまわないのですが
(4)の解法は(1)〜(3)の流れから
　3^5x-3^-5x
　=(3^4x+3^-4x)(3^x-3^-x)+3^3x-3^-3x
　=(3^4x+3^-4x)(3^x-3^-x)+(3^x-3^-x)(3^2x+1+3^-2x)
　=194*(±2√3)+(±2√3)*(14+1)
　が自然かと思われるが、もしかすると出題業者と解答業者　が異なる？
　個人的にx^n-y^n = (x-y)(x^(n-1)+x^(n-2)y+x^(n-3)y^2+…+ xy^(n-2)+y^(n-1))　に気づかない。気づかないのが　悪いと言われればそれまでですけど・・・・
No.66075 - 2020/05/31(Sun) 01:14:27
☆ Re: / ast
a+1/a と a-1/a の両方分かっている状態で a^n+1/a^n や a^n-1/a^n をいくつかの n に対して求めさせる問題としては, n=2,3 を調べてそれらを掛けて n=5 の計算に利用 ((a^2+1/a^2)(a^3-1/a^3)=(a^5-1/a^5)+(a-1/a) とか) みたいな組み合せを工夫するのも定番だと思います.

もとの出題だと, n=3 には一切触れなかったため, (3) までの流れを n=2^k の場合は n=2 のやり方に帰着できると理解する余地も出てくるので, そのように見た場合 (4) はやや場違い感あります.

とはいえ, a^n-1/a^n の因数分解の式からは
　 n が奇数なら n 以下の偶数乗の場合が全部わかってれば計算できる
　 n が偶数なら n 以下の奇数乗の場合が全部わかってれば計算できる
みたいなことも読み取れる (実際もとの出題でも n=2,4 の直後に n=5 は (n=3 を飛ばしても) 求まります).
x^n-y^n の因数分解を持ち出すのは確かに一般化しすぎの感はあるでしょうけれど, 式の意味を上のように整理しておくと類題の検討もしやすく, 解くにあたっての場当たり感なども感じなくて済むと思います.
No.66110 - 2020/05/31(Sun) 16:20:49