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記事No.66138に関するスレッドです
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微分方程式の一般解
/ さのたろう
引用
写真の赤下線部の(4),(6)の問題の解き方を教えてください。
私は微分方程式の一般解の求め方を「左辺にy，右辺にxをまとめて積分をする」という認識でいるのですが、(4)の場合yの次数が違うためわかりません。
(6)はlog｜y+√(y^2+1)｜+C＝x+C まで来て手詰まりです。
何卒よろしくお願いします。
No.66138 - 2020/06/01(Mon) 12:12:51
☆
Re: 微分方程式の一般解
/ WIZ
引用
(4)
y' = (2x+1)(y+1)y
y = 0 及び y = -1 という定数関数は上記微分方程式を満たす。
(y+1)y ≠ 0 の場合、
2x+1 = y'/{(y+1)y} = y'{1/y-1/(y+1)}
⇒ x^2+x+C = log(y/(y+1)) (Cは積分定数)
⇒ e^(x^2+x+C) = y/(y+1)
⇒ A(e^(-x^2-x)) = 1+1/y (A = e^(-C) は正の定数)
⇒ 1/{A(e^(-x^2-x))-1} = y
検算
y' = -(-2x-1)A(e^(-x^2-x))/{A(e^(-x^2-x))-1}^2 = (2x+1)(1/y+1)y^2
(6)
両辺に積分定数を付ける必要はないので、
log(|y+√(y^2+1)|) = x+C
ですね。
⇒ |y+√(y^2+1)| = e^(x+C)
⇒ y+√(y^2+1) = (±(e^C))(e^x) = A(e^x) (A = ±(e^C) は0でない任意定数)
⇒ y-A(e^x) = -√(y^2+1)
⇒ y^2-2yA(e^x)+(A(e^x))^2 = y^2+1
⇒ A(e^x){A(e^x)-2y} = 1
⇒ A(e^x)-2y = (1/A)(e^(-x))
⇒ y = (A/2)(e^x)-(1/(2A))(e^(-x))
検算
y' = (A/2)(e^x)+(1/(2A))(e^(-x))
y^2 = ((A/2)(e^x))^2-2(A/2)(e^x)(1/(2A))(e^(-x))+((1/(2A))(e^(-x)))^2
= ((A/2)(e^x))^2-1/2+((1/(2A))(e^(-x)))^2
⇒ y^2+1 = ((A/2)(e^x))^2+1/2+((1/(2A))(e^(-x)))^2
= ((A/2)(e^x))^2+2(A/2)(e^x)(1/(2A))(e^(-x))+((1/(2A))(e^(-x)))^2
= {(A/2)(e^x)+(1/(2A))(e^(-x))}^2
= (y')^2
(y')^2 = y^2+1 は A の符号に関わらず成立しますが、
y' = √(y^2+1) は A > 0 の場合のみ成立しますね。
よって、A は正の任意定数としないとダメですね。
# 勘違い、計算間違いしていたらごめんなさい。
No.66146 - 2020/06/01(Mon) 16:03:38
☆
Re: 微分方程式の一般解
/ WIZ
引用
(6)の訂正
y ≧ 0 なら y+√(y^2+1) > 0 ですが、
y < でも √(y^2+1) > √(y^2) = |y|なので、y+√(y^2+1) > 0 ですね。
だから、途中計算で用いられてた絶対値記号は不要でした。
log(y+√(y^2+1)) = x+C
⇒ y+√(y^2+1) = e^(x+C) = A(e^x) (A = e^C は正の任意定数)
となり、最初から A は正の任意定数とできますね。
No.66160 - 2020/06/01(Mon) 21:23:33
