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記事No.66203に関するスレッドです
★ 二重積分Mとは？ / KIT
ストークスの定理の問題について聞きたいです。


最後のほうで赤枠で囲んだ二重積分Mについて教えて下さい。

まずこの読み方が分かりません。インテグラルインテグラルMでしょうか？
次に、これが何を意味しているのか分かりません。単純に領域Mの面積と覚えればいいのでしょうか。答えはそうなってますね。
下に解説で、π*２^2と書いてありますが、なぜこのような計算になるのでしょうか？

自分で調べたいとは思いますが、何て検索していいのか分かりません。二重積分Mとか領域Mで検索しても何も出てきません。
No.66203 - 2020/06/02(Tue) 20:42:12
☆ Re: 二重積分Mとは？ / GandB
　答えはアップした図に丁寧に書いてあるけどねえ。

　　∬_S rotf↑・n↑ds
は、本来3次元空間内の曲面 S 上の領域で定義された面積分であるが、この問題の場合ベクトル場が
　　f↑ = (-2y, x, 0)
なので2次元のストークスの定理と見なせばよい。
　　rotf↑= (0, 0, 3)
なのだから、図の説明にあるとおり、xy平面上の閉曲線 x^2 + y^2 = 4 を領域とする2重積分となる。
　2重積分は、普通は体積になるが、この場合

　∬_S rotf↑・n↑ds = ∬_S 3ds = ∬_M 3dxdy = 3∬_M 1dxdy

のように '高さ' が 1 となるから、結局半径 2 の円の面積の3倍になる。
No.66217 - 2020/06/03(Wed) 00:19:53
☆ Re: 二重積分Mとは？ / KIT
回答ありがとうございます。

∬_M 1dxdy　は領域Mの面積、と考えればいいわけですね。

というか、領域Mをx,yに積分したもの、ということでよろしいでしょうか？
No.66328 - 2020/06/04(Thu) 21:22:58