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記事No.66229に関するスレッドです
★ この問題を教えていただけませんか / Yuika
この問題の(1)はどのように解けばいいでしょうか。分母を何に揃えるべきか分かりません…。
(2)もさっぱり分かりません…。
それぞれ答えは(6x^4)/(x^6-1),2となっています。
よろしくお願いします。
No.66229 - 2020/06/03(Wed) 09:59:30
☆ Re: この問題を教えていただけませんか / らすかる
(1)
(x+1)(x^2-x+1)=x^3+1, (x-1)(x^2+x+1)=x^3-1であることを念頭において
-1/(x+1)+1/(x-1)+(-x+1)/(x^2+x+1)+(x+1)/(x^2-x+1)
={-1/(x+1)+(x+1)/(x^2-x+1)}+{1/(x-1)+(-x+1)/(x^2+x+1)}
={-(x^2-x+1)+(x+1)^2}/{(x+1)(x^2-x+1)}+{(x^2+x+1)-(x-1)^2}/{(x-1)(x^2+x+1)}
=(3x)/(x^3+1)+(3x)/(x^3-1)
=(3x){1/(x^3+1)+1/(x^3-1)}
=(3x){(x^3-1)+(x^3+1)}/{(x^3+1)(x^3-1)}
=(3x)(2x^3)/(x^6-1)
=(6x^4)/(x^6-1)

(2)
これは分母を(a-b)(b-c)(c-a)にして単純に通分して計算するだけでもよいと思いますが、
分子を形が同じもので分けると簡単かも知れません。
(a^2+bc)/{(a-b)(a-c)}+(b^2+ca)/{(b-c)(b-a)}+(c^2+ab)/{(c-a)(c-b)}
=a^2/{(a-b)(a-c)}+b^2/{(b-c)(b-a)}+c^2/{(c-a)(c-b)}
　+bc/{(a-b)(a-c)}+ca/{(b-c)(b-a)}+ab/{(c-a)(c-b)}
=-{a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)}/{(a-b)(b-c)(c-a)}
　-{bc(b-c)+ca(c-a)+ab(a-b)}/{(a-b)(b-c)(c-a)}
=-{a^2(b-c)+bc(b-c)-a(b^2-c^2)}/{(a-b)(b-c)(c-a)}
　-{bc(b-c)+a^2(b-c)-a(b^2-c^2)}/{(a-b)(b-c)(c-a)}
=-2{a^2(b-c)+bc(b-c)-a(b^2-c^2)}/{(a-b)(b-c)(c-a)}
=-2{a^2+bc-a(b+c)}/{(a-b)(c-a)}
=-2(a-b)(a-c)/{(a-b)(c-a)}
=2
No.66230 - 2020/06/03(Wed) 10:33:45
☆ Re: この問題を教えていただけませんか / Yuika
ありがとうございました！すごく分かりやすくて理解できました。
(2)はすごく美しい計算ですね！途中まではとてもややこしいですが最後は整数値になるところはとても驚きでした…。
No.66234 - 2020/06/03(Wed) 11:06:17