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記事No.66431に関するスレッドです
★ (No Subject) / まる
mを無限に飛ばすとなぜ分子がこうなるのですか？
(m+1)(1/3)^m のところが0になれば分子が1/3になるのでしょうが、そこがわかりません。
No.66431 - 2020/06/06(Sat) 17:50:05
☆ Re: / X
こちらから質問しますが、ご質問の問題は小問のうちの
(2)以降の問題であって、この小問以前に
例えば
lim[m→∞]m(1/3)^m=0
を証明するといった小問がついていませんか？

もしそういった小問がついているのであれば
そちらの模範解答を参照してみて下さい。
略解でない限り
lim[m→∞](m+1)(1/3)^m=0
を証明なしで使うことはまずありませんので。

そうでなければその旨をアップして下さい。
No.66433 - 2020/06/06(Sat) 18:13:35
☆ Re: / まる
小問の続きではありません。
これが一つの問題となっていて、問題文に「lim[m→∞](m+1)(1/3)^m=0を証明無しに使ってもよい」というような記述もありません。
No.66434 - 2020/06/06(Sat) 18:24:31
☆ Re: / IT
高校程度（大学入試含む）の問題集ですか？　大学程度ですか？
高校程度であれば、ｍ/３^m →0（ｍ→∞)を証明なしに使えないかも知れませんね。
（数研出版の高等学校数学３では、章末問題にn/2^n →0（n→∞)が小問誘導つきで出てます。）
第４章　章末問題Ａ
ｎを自然数とするとき、次の問いに答えよ。
（１）不等式　2^n≧1+n+n(n-1)/2 が成り立つことを示せ。
（２）（１）の不等式を用いて、極限lim(n→∞)n/2^nを求めよ。
（略解）（１）2^n=(1+1)^n≧1+C(n,1)+C(n,2)
No.66437 - 2020/06/06(Sat) 19:12:58
☆ Re: / X
>>まるさんへ
既にITさんがはさみうちの原理で使う不等式を
例題として挙げていますが、以下のような
別解もあります。
(煩雑ですが。)

f(x)=e^x-(x+1)
と置くと
f'(x)=e^x-1
∴0≦xにおいて
f'(x)≧0
又
f(0)=0
以上から0≦xにおいて
f(x)≧0
つまり
1+x≦e^x

従って自然数mに対し
0＜(1+m)(1/3)^m≦(e^m)(1/3)^m=(e/3)^m
ここで0＜e＜3ゆえ0＜e/3＜1
よってはさみうちの原理により
lim[m→∞](m+1)(1/3)^m=0
No.66440 - 2020/06/06(Sat) 21:21:16