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記事No.66533に関するスレッドです
★
定積分の問題
/ 灘
引用
わかりませんでした。むずすぎです。高校範囲で解けるらしいです
?Aお願いします
No.66533 - 2020/06/08(Mon) 11:35:39
☆
Re: 定積分の問題
/ WIZ
引用
I = ∫[log(3)^(1/3), log(4)^(1/3)]{(x^2)sin(x^3)/(sin(x^3)+sin(log(12)-x^3))}dx・・・(1)
とおきます。
# 「sinx^3」が「sin(x)^3」の意味か「sin(x^3)」の意味か曖昧ですが、後者と解釈しました。
a = log(3)^(1/3), b = log(4)^(1/3) とすると
a^3+b^3 = log(3)+log(4) = log(12) です。
y^3 = log(12)-x^3 とおくと、x^3 = log(12)-y^3 で、
x の変化が a→b のとき、x^3 は a^3→b^3 と変化するので、
y^3 は (a^3+b^3)-a^3 = b^3 から (a^3+b^3)-b^3 = a^3 まで変化するので、
y は b→a と変化すると考えられます。
また、3(y^2)dy = -3(x^2)dx となります。
I = ∫[b, a]{-(y^2)sin(log(12)-y^3)/(sin(log(12)-y^3)+sin(y^3))}dy
= ∫[a, b]{(y^2)sin(log(12)-y^3)/(sin(log(12)-y^3)+sin(y^3))}dy・・・(2)
積分変数は x でも y でも定積分の値には関係ないので、(1)と(2)を加えると、
2I = ∫[a, b]{((x^2)sin(x^3)+(x^2)sin(log(12)-x^3))/(sin(x^3)+sin(log(12)-x^3))}dx
= ∫[a, b]{x^2}dx
= [(x^3)/3]_[a, b] = (1/3)(b^3-a^3) = (1/3)(log(4)-log(3)) = (1/3)log(4/3)
以上から、I = (1/6)log(4/3) となります。
No.66541 - 2020/06/08(Mon) 14:05:49
