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記事No.66561に関するスレッドです
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授業ついていけてなくて
/ ナイアシン
引用
積分的な演習なんですけど、これ解いて頂けませんか。。
解説がなくて全くわからないです。量が多いですがお願いします
No.66561 - 2020/06/09(Tue) 08:53:23
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Re: 授業ついていけてなくて
/ X
引用
大問1)
(1)
f(x)={(1-x)+x}/{(1-x)x^3}
=1/x^3+1/{(1-x)x^2}
=1/x^3+{(1-x)+x}/{(1-x)x^2}
=1/x^3+1/x^2+1/{(1-x)x}
=1/x^3+1/x^2+1/x+1/(1-x)
∴a[1]=a[2]=a[3]=b=1
(2)
(1)の結果を使います。
(3)
(1)と同様な計算により
1/{(1-x)x^p}=1/(1-x)+Σ[k=1〜p]1/x^k
これを使って積分を計算します。
No.66583 - 2020/06/09(Tue) 20:29:26
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Re: 授業ついていけてなくて
/ X
引用
大問3)
T[0](x)=1 (A)
T[1](x)=x (B)
T[n](x)=2xT[n-1](x)-T[n-2](x) (C)
とします。
(1)
cosnθ=T[n](cosθ) (D)
として(D)を数学的帰納法で証明します。
(i)n=0,1のとき
(A)(B)より成立は明らか。
(ii)n=k,k+1のとき(D)の成立を仮定します。
つまり
coskθ=T[k](cosθ)
cos(k+1)θ=T[k+1](cosθ)
このとき(C)より
T[k+2](cosθ)=2(cosθ)T[k+1](cosθ)-T[k](cosθ)
=2(cosθ)cos(k+1)θ-coskθ
={cos(k+2)θ+coskθ}-coskθ (∵)積和の公式
=cos(k+2)θ
∴(D)はn=k+2のときも成立。
(2)
x=cosθと置いて置換積分をし、(1)の結果を代入します。
No.66586 - 2020/06/09(Tue) 20:49:29
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Re: 授業ついていけてなくて
/ X
引用
大問4)
(1)
e^x=tと置いてf(x)をまずtについて解きます。
(2)
左辺の第二項において
x=f(t)
と置くと
dx=f'(t)dt
g(x)=g(f(t))=t
で
x:f(a)→f(b)
に
t:a→b
が対応し
(左辺)=∫[a→b]f(x)dx+∫[a→b]tf'(t)dt
=∫[a→b]f(x)dx+∫[a→b]xf'(x)dx
=∫[a→b]f(x)dx+{[xf(x)][a→b]-∫[a→b]f(x)dx}
=(右辺)
No.66590 - 2020/06/09(Tue) 20:57:23
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Re: 授業ついていけてなくて
/ X
引用
大問5)
(1)
I[n]の定義により
I[0]=∫[π/4→π/2]{(cosx)/(sinx)}dx
=[log(sinx)][π/4→π/2]
=(1/2)log2
(2)
I[n]の定義により
I[n]-I[n-1]=∫[π/4→π/2]{{cos(2n+1)x-cos(2n-1)x}/(sinx)}dx
=2∫[π/4→π/2]{{sin(2nx)sinx}/(sinx)}dx (∵)和積の公式)
=2∫[π/4→π/2]sin(2nx)dx
={2/(2n+1)}{cos(nπ/2)-cos(nπ)}
={2/(2n+1)}{cos(nπ/2)-(-1)^n}
(3)
I[5]=I[0]+Σ[k=1〜5]{I[k]-I[k-1]}
これに(1)(2)の結果を使います。
No.66591 - 2020/06/09(Tue) 21:05:41
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Re: 授業ついていけてなくて
/ X
引用
大問2)
問題の等式を(A)とします。
(1)
(A)
((A)の左辺)=∫{(cosx){1-(sinx)^2}^(m-1)}dx
=Σ[l=0〜m-1]{(m-1)Cl}∫{(cosx)(sinx)^(2l)}dx (∵)二項定理
=Σ[l=0〜m-1]{1/(2l+1)}{(m-1)Cl}(sinx)^(2l+1)+D
=Σ[p=1〜m]{1/(2p-1)}{(m-1)C(p-1)}(sinx)^(2p-1)+D
(Dは積分定数)
これと(A)の右辺との係数を比較して
kが偶数のとき
a[k]=0
kが奇数のとき
a[k]={(1/k){(m-1)C((k-1)/2)}(sinx)^k
また
nが奇数のとき
n=2m-1
nが偶数のとき
n=2m
(2)
条件から
f(cosx)-f(-cosx)=Σ[m=1〜q]b[m](cosx)^(2m-1)
({b[m]}は定数の列,qは自然数)
と置くことができ、(1)の結果が使えます。
No.66596 - 2020/06/09(Tue) 21:38:06
