[ 掲示板に戻る ]
記事No.66611に関するスレッドです
★ これが最後です。お願いします / ナイアシンII
丸投げみたいな形になってしまい申し訳ないです！
前回のは全部理解出来ました！ありがとうございます
本当に助かりました。
No.66611 - 2020/06/10(Wed) 10:38:36
☆ Re: これが最後です。お願いします / X
大問6
(1)
条件から
f(0)=∫[0→π]|sint|dt
=∫[0→π]sintdt
=2

(2)
0≦x≦π/2
により
0≦t≦x,π-x≦t≦πのとき
sint-sinx≦0
x≦t≦π-xのとき
sint-sinx≧0
∴
f(x)=-∫[0→x](sint-sinx)dt+∫[x→π-x](sint-sinx)dt
-∫[π-x→π](sint-sinx)dt
=…

(3)
(2)の結果からf'(x)を求め
0≦x≦π/2
におけるf(x)の増減表を書きます。
No.66639 - 2020/06/10(Wed) 17:48:26
☆ Re: これが最後です。お願いします / X
大問7
(1)
B(3,2)=∫[0→1]{(x^3)(1-x)^2}dx
=∫[0→1]{(x^5-2x^4+x^3)dx
=[(1/6)x^6-(2/5)x^5+(1/4)x^4][0→1]
=1/6-2/5+1/4
=5/12-2/5
=1/60
(2)
部分積分により
B(m,n)=[({1/(m+1)}{x^(m+1)}(1-x)^n][0→1]+{n/(m+1)}∫[0→1]{{x^(m+1)}(1-x)^(n-1)}dx
={n/(m+1)}B(m+1,n-1)
(3)
(2)の結果から
B(m,n)={n/(m+1)}…{1/(m+n)}B(m+n,0)
={m!n!/(m+n)!}∫[0→1]{x^(m+n)}dx
=m!n!/(m+n+1)!
(4)
(x-a)/(b-a)=t
と置いて置換積分をし、(3)の結果を使います。
No.66642 - 2020/06/10(Wed) 17:58:57
☆ Re: これが最後です。お願いします / X
大問8)
(1)
ドモアブルの定理は既知であるという前提で回答を。
(前提にできないのであればその旨をアップして下さい。)
条件から
z^n=(cosθ+isinθ)^n=cosnθ+isinnθ
∴1/z^n=1/(cosθ+isinθ)^n=1/(cosnθ+isinnθ)
=cosnθ-isinnθ
つまり
z^n=cosnθ+isinnθ (A)
1/z^n=cosnθ-isinnθ (B)
{(A)+(B)}÷2より
cosnθ=(1/2)(z^n+1/z^n)
{(A)-(B)}÷2iより
sinnθ={1/(2i)}(z^n-1/z^n)
∴
sinnθ=-(i/2)(z^n-1/z^n)
(2)
z=cosx+isinx
と置くと(1)の結果から問題の等式は
(1/2)(z+1/z)+(1/2)(z^2+1/z^2)-(1/2)(z^3+1/z^3)=1
これより
(1/2)(z+1/z)+(1/2)(z+1/z)^2-1-(1/2)(z+1/z)^3+(3/2)(z+1/z)=1
2(z+1/z)+(1/2)(z+1/z)^2-(1/2)(z+1/z)^3=2
∴z+1/z=uと置くと
2u+(1/2)u^2-(1/2)u^3=2
u^3-u^2-4u+4=0
(u-1)(u-2)(u+2)=0
∴u=1,2,-2
となるので
cosx=(1/2)u=1/2,1,-1
∴0≦x＜2πにより
x=0,π/3,π,5π/3
(3)
半角の公式により
(左辺)=(1/2)(1-cos40°)+(1/2)(1-cos80°)+(1/2)(1-cos120°)+(1/2)(1-cos160°)
=(1/2)(1-cos40°)+(1/2)(1-cos80°)+(1/2)(1+cos60°)+(1/2)(1+cos20°)
=(1/2)(cos20°-cos40°-cos80°)+9/4
=(1/2)(cos20°-2cos60°cos20°)+9/4 (∵)和積の公式
=(1/2)(cos20°-cos20°)+9/4
=(右辺)
No.66643 - 2020/06/10(Wed) 18:28:52