写真の問題が分かりません😅 どなたかお願いします。
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No.66972 - 2020/06/18(Thu) 18:35:41
| ☆ Re: 写真の問題について / 関数電卓 | | | 正攻法でやろうとしたらうまくいかないので，大昔のカビ臭い＜ベクトル解析＞の本を見てみたら，とんだ裏技が隠れていました。
ガウスの発散定理 ∫VdivXdV＝∫SX･ndS …(1)
求められているのは，半球面上での積分ですが，これに「底面」x^2＋y^2≦1, z＝0 を付加し閉曲面とします。半球面を S1, 底面を S2 とします。
▽でナブラ記号を表すことにします。
▽φ＝A, ▽ψ＝B, X＝▽φ×▽ψ＝A×B と置くと発散定理より
∫VdivXdV＝(∫S1＋∫S2)X･ndS …(2)
ここで
divX＝div(A×B)＝B･rotA−A･rotB …(3)
であり，φ,ψ が何であっても rot▽φ＝rot▽ψ＝0 だから divX＝0 で，(2)の左辺＝0。よって，
求めるべき ∫S1…dS は ＝−∫S2…dS
S2 (z＝0) 上においては φ＝x, ψ＝x＋y で，▽φ＝(1,0,0), ▽ψ＝(1,1,0), n＝(0,0,−1) で (▽φ×▽ψ)･n＝−1 となるから，底面 S2 での積分＝−π
以上より，求める半球面 S1 上での積分値は π
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No.66991 - 2020/06/19(Fri) 00:22:31 |
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