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記事No.67022に関するスレッドです
★ (No Subject) / 区分求積法
課題で出たものなんですけど、数式をいじったりしたんですけどうまく行きませんでした。よければ教えてください
No.67022 - 2020/06/19(Fri) 18:27:06
☆ Re: / ast
このままの式が与えられたので (これをさらに弄れば積分に書き換えられる形になるはずと思っているが) 積分に直せないというご質問ですか?
それとも, 与えられた式を (弄った結果として積分に直せるこの形を得たので) 積分の計算には帰着できたけどその積分が計算できない?

前者なら, 実際にはこれはもうこれ以上何も弄る必要がないので, どこがどう置き換わるべきか教科書とよくにらめっこしてください.
後者ならば, まず ∫dx/√(1-x^2) の積分 (不定積分でも (-1,1) または [0,1) 上の定積分でも) ができることが前提になるとおもいます. ほぼ同じ方法で ∫dx/√(a^2-x^2) が計算できるなら本問も同様になります.

# ということで, おそらくこう
No.67023 - 2020/06/19(Fri) 18:53:45
☆ Re: / X
(与式)=lim[n→∞]{(√3-1)/n}{1+Σ[k=0〜n-1]1/√{4-{1+(√3-1)(k/n)}^2}}
=(√3-1)∫[0→1]dx/√{4-{1+(√3-1)x}^2}
ここで
{1+(√3-1)x}/2=t
と置くと
(与式)=∫[1/2→(√3)/2]dt/√(1-t^2) (A)
=[arcsint][1/2→(√3)/2]
=π/3-π/6
=π/6

注)
arcsintの意味が分からないようであれば
(A)で更に
t=sinu
と置いて置換積分をしましょう。
No.67024 - 2020/06/19(Fri) 18:54:14
☆ Re: / 区分求積法
> (与式)=lim[n→∞]{(√3-1)/n}{1+Σ[k=0〜n-1]1/√{4-{1+(√3-1)(k/n)}^2}}
> =(√3-1)∫[0→1]dx/√{4-{1+(√3-1)x}^2}
> ここで
> {1+(√3-1)x}/2=t
> と置くと
> (与式)=∫[1/2→(√3)/2]dt/√(1-t^2) (A)
> =[arcsint][1/2→(√3)/2]
> =π/3-π/6
> =π/6
>
> 注)
> arcsintの意味が分からないようであれば
> (A)で更に
> t=sinu
> と置いて置換積分をしましょう。
区分求積法なのはわかってましたけど、うまく変形できなかったので質問しました
書くの忘れちゃいましたけど、積分区間が画像のとおりなのでおかしいなと思って質問しました。
No.67025 - 2020/06/19(Fri) 18:59:07
☆ Re: / X
∫[1→0]f(x)dx=∫[0→1]{-f(x)}dx
と変形して-f(x)について区分求積法を
適用すると考えます。
No.67027 - 2020/06/19(Fri) 19:14:52
☆ Re: / ast
積分区間は区分求積とはまた別の問題のように思います. たとえば x の代わりに -x とすれば a=0 として ∫[1,0] = -∫[0,1] を使えばいいし, x の代わりに 1/x とすれば a=∞ として ∫[1,∞] は ∫[1,0] にうつせます (厳密には変数を u=-x とか v=1/x とか置換する話なので被積分函数のほうも形が変わりますが).
No.67028 - 2020/06/19(Fri) 19:17:04
☆ Re: / 区分求積法
解決しました。くだらない質問してすみませんでした
No.67029 - 2020/06/19(Fri) 19:24:21