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記事No.67146に関するスレッドです
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(No Subject)
/ 微分
引用
こちらの大門の答えを教えてほしいです。一応解けました。1ははさみうちの原理を使いました。2はaは1/3になりました。3は1/3になりました。4は連続になりました。答えがあってるか確認したいので是非お願いします。
No.67146 - 2020/06/22(Mon) 03:01:07
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Re:
/ 微分
引用
2はa=3になりました
No.67147 - 2020/06/22(Mon) 03:01:35
☆
Re:
/ WIZ
引用
(6)
x ≠ 0 だから -1 ≦ sin(1/x) ≦ 1 です。
つまり、-x^2 ≦ (x^2)sin(1/x) ≦ x^2 です。
x→0 のとき -x^2→0 かつ x^2→0 なので、(x^2)sin(1/x)→0 と言えます。
(7)
lim[x→0]f(x) = f(0) が成立すれば良いです。
(6)の結果より lim[x→0]f(x) = 3 であり、f(0) = a なので、a = 3 となります。
(8)
f'(x) = lim[h→0]{(f(x+h)-f(x))/h} なので、x = 0 とすると、
f'(0) = lim[h→0]{(f(0+h)-f(0))/h}
= lim[h→0]{(f(h)-f(0))/h}
= lim[h→0]{(((h^2)sin(1/h)+h/2+3)-3)/h}
= lim[h→0]{((h^2)sin(1/h)+h/2)/h}
= lim[h→0]{(h*sin(1/h)+1/2}
(6)と同等な方法で、h→0 のとき h*sin(1/h)→0 と言えるので、
lim[h→0]{(h*sin(1/h)+1/2} = 1/2 つまり f'(0) = 1/2
(9)
x ≠ 0 のとき
f'(x) = (2x)sin(1/x)+(x^2)cos(1/x)(-1/x^2)+1/2
= (2x)sin(1/x)-cos(1/x)+1/2
1/x = 2nπ だから sin(1/x) = 0 かつ cos(1/x) = 1 です。
f'(1/(2nπ)) = (2/(2nπ))sin(2nπ)-cos(2nπ)+1/2 = 0-1+1/2 = -1/2
(10)
x = 1/(2nπ)とおいて(9)の結果を用いると
lim[x→0]f'(x) = lim[n→∞]f'(1/(2nπ)) = -1/2
# 上記で n は(正の)整数とする。n が整数以外の場合は上記の成立は不明。
一方(8)の結果より f'(0) = 1/2 なので、
lim[x→0]f'(x) = -1/2 ≠ 1/2 = f'(0) となり、x = 0 で f'(x) は不連続です。
# あくまで(9)の結果を適用するという出題者の期待に沿った強引な結論です。
# x→0 のとき (2x)sin(1/x)→0 だけど、cos(1/x)は振動して収束しないと思うのですが…。
# つまり、lim[x→0]f'(x) は極限を持たない様な気もします。
No.67169 - 2020/06/22(Mon) 16:54:11
