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記事No.67154に関するスレッドです
★ 複素指数関数の積分 / さんた
画像の２問の積分のやり方を教えてください．複素化をして部分積分を用いないで解くように指示が出されています．
(?A)を複素化すると，
∫e^(ax)・{cos(bx)+isin(bx)}dx
で合っているでしょうか．またここから部分積分を用いずに積分する方法が分からないので教えていただければ幸いです．
No.67154 - 2020/06/22(Mon) 11:55:15
☆ Re: 複素指数関数の積分 / ヨッシー
話の流れとしては、
(ii) を複素数であることを気にせずに積分してみる。
　→ｅa+bi/(a+bi)
これを複素化して　Ａ＋Ｂｉ の形にする。
一方、(ii) を複素化して
　∫ｅaxcos(bx)dx＋ｉ∫ｅaxsin(bx)dx
　∫ｅaxcos(bx)dx＝Ａ
　∫ｅaxsin(bx)dx＝Ｂ
とすれば、部分積分を使わずに求めることが出来る。
ということを確認したいのではないかと思います。
No.67157 - 2020/06/22(Mon) 13:09:13
☆ Re: 複素指数関数の積分 / さんた
ありがとうございます．(?A)は前者の考え方で解きました．
ところで(?B)なのですが，（?A）を用いるなりして，部分積分をせずに求める方法はありませんでしょうか．
うまくいきそうなのにもどかしいです．
No.67162 - 2020/06/22(Mon) 15:11:53
☆ Re: 複素指数関数の積分 / ヨッシー
> ところで(?B)なのですが，（?A）を用いるなりして，部分積分をせずに求める方法はありませんでしょうか．

それを、上で書いたつもりですが、答えが合いませんか？
「合う」とは、
(ii) を複素化した結果と、
部分積分を使った結果とが一致するということです。
No.67163 - 2020/06/22(Mon) 15:59:14
☆ Re: 複素指数関数の積分 / ast
e^{(a+bi)x}=e^(ax)(cos(bx)+i*sin(bx) はただの恒等式 (場合によっては複素指数の定義通り) で何も変化がない (とくに前も後も実変数(?)の複素数値函数であることは変わりない) ので, ∫e^{(a+bi)x}dx=∫e^(ax)(cos(bx)+i*sin(bx)dx を複素「化」と呼ぶのは違和感しかないんですが……
# 実変数 x を複素変数 z に換えるとか, 実係数の e^(ax) を複素係数の e^((a+bi)x) に換えるとか,
# そういうのだったら, (実数が複素数に化けているので) それを複素化と呼ぶのはわかる.

むしろ (iii) で二つの実積分を ∫e^(ax)cos(bx)+i∫e^(ax)sin(bx) と複素数の形にペアリングすることを「複素化」と呼んでいるのだったらまだ理解できる. (すると (iii) は (ii) という複素数値函数の積分に帰着される)
# 要は (ii) は普通に計算できる積分として与えられていて, (ii) を「複素化」しようというのは
# ナンセンス (そもそも (ii) は「複素化して解け」という指示とは無縁) なのでは, という話.
#
## というかそもそもこの文脈でテキストや出題者が (ii) の e^{(a+bi)x} や
## その積分をいったいなんだと捉えているのか（どういうものと定義しているのか）が
## よくわからんというか, ものすごく怪しい (循環論法で堂々巡りしてる可能性もある).
## 実際, 複素数値函数の積分を実部虚部それぞれの実函数としての積分の線型結合と定義している場合
## (ii)は(iii)の結果から定義されるので(ii)に帰着して(iii)を求めてはいけない.
No.67165 - 2020/06/22(Mon) 16:11:47
☆ Re: 複素指数関数の積分 / WIZ
astさんのコメントにある循環論法云々を度外視すれば(!)

逆複素化(?)により(iii)は
∫{(e^(ax))cos(bx)}dx = ∫{(e^(ax))(e^(ibx)+e^(-ibx))/2}dx = (1/2)∫{e^(ax+ibx)+e^(ax-ibx)}dx
∫{(e^(ax))sin(bx)}dx = ∫{(e^(ax))(e^(ibx)-e^(-ibx))/(2i)}dx = (1/(2i))∫{e^(ax+ibx)-e^(ax-ibx)}dx
となって、(ii)が部分積分を用いず積分できるというなら、上記も同様と言えるかと。

或いは、複素化が
∫{(e^((a+bi)x)}dx = ∫{(e^(ax))cos(bx)}dx+i∫{(e^(ax))sin(bx)}dx
ということなら、b の符号を反転すると
∫{(e^((a-bi)x)}dx = ∫{(e^(ax))cos(bx)}dx-i∫{(e^(ax))sin(bx)}dx
なので、
∫{(e^((a+bi)x)}dx と ∫{(e^((a-bi)x)}dx が部分積分を用いず積分できるのなら、
その結果を用いて上記連立方程式(?)を解いて、
∫{(e^(ax))cos(bx)}dx と ∫{(e^(ax))sin(bx)} を求めることができるかと。

失礼しました。
No.67193 - 2020/06/23(Tue) 12:05:22