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記事No.67185に関するスレッドです
★ ベクトル / あさな
法線ベクトルに着目するのかなという感じなのですがよくわかりません。教えてください。
No.67185 - 2020/06/23(Tue) 00:48:23
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
ａ，ｂ，ｃには、正の数と負の数がそれぞれ１つ以上あります。
正の数が２つのとき、それを仮にａ，ｂとします。
負の数が２つのとき、
　ａ＝−ａ、ｂ＝−ｂ、ｃ＝−ｃ
としても、
　ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＝０
　ａ＋ｂ＋ｃ＝０
が成り立ち、ａ，ｂ，ｃの２つの正の数を仮にａ，ｂとします。

　ａｘ＋ｂｙ＝(ａ＋ｂ)ｚ
なので、図のような関係になります。
　|ｘ|＝|ｙ|＝|ｚ|
より、この三角形の辺の比が ａ：ｂ：(ａ＋ｂ) であり
これが成り立つのは、
　ｘ、ｙ、ｚ が同じ向きの場合
よって、
　|ｘ|＝|ｙ|＝|ｚ|
から
　ｘ＝ｙ＝ｚ
が言えます。
No.67190 - 2020/06/23(Tue) 07:29:43
☆ Re: ベクトル / X
別解)
↑x,↑yの向きが同じであるということを示す
という方針自体はヨッシーさんと同じですが
内積で詰めてみます。

|↑x|=|↑y|=|↑z| (A)
a+b+c=0 (B)
a↑x+b↑y+c↑z=↑0 (C)
とします。
(B)より
c=-(a+b) (B)'
これを(C)に代入して
a↑x+b↑y=(a+b)↑z
∴|a↑x+b↑y|^2=|(a+b)↑z|^2
左辺を展開し、(A)を用いると
(a^2+b^2)|↑x|^2+2ab↑x・↑y={(a+b)^2}|↑x|^2
整理して
2ab(↑x・↑y-|↑x|^2)=0
条件からab≠0ゆえ
↑x・↑y=|↑x|^2
これと(A)により
↑x・↑y=|↑x||↑y|
これは
↑xと↑yの向きが同じである
ことを示しているので
(A)により
↑x=↑y (E)

(E)と(C)により
(a+b)↑x+c↑z=↑0
更に(B)より
a+b=-c
∴-c↑x+c↑z=↑0
c(↑z-↑x)=↑0
条件からc≠0ゆえ
↑z=↑x (F)
(E)(F)より
↑x=↑y=↑z
No.67205 - 2020/06/23(Tue) 20:30:25