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記事No.67203に関するスレッドです
★ 証明問題についてです / えび
この二つの式の証明が全く分かりません...
片方だけでも解ける方いらっしゃいましたら是非お願い致します。
No.67203 - 2020/06/23(Tue) 19:07:28
☆ Re: 証明問題についてです / IT
f(x)＝arcsin(tanhx)、g(x)＝arctan(sinhx)とおく。
arcsinx,tanhx、arctanx,sinhxは狭義単調増加なので
f(x),g(x)は狭義単調増加
またf(x),g(x)の値域は(-π/2,π/2)

定義域(-π/2,π/2)におけるf,g の逆関数を考える。

arcsinxの逆関数はsinxで値域は(-1,1)
(-1,1)におけるtanhxの逆関数は(1/2)log((1+x)/(1-x))なので
f(x)の逆関数は(1/2)log((1+sinx)/(1-sinx))
=(1/2)log((1+sinx)^2/(cosx)^2)　
=log((1+sinx)/(cosx)) ∵cosx＞0

arctanxの逆関数はtanxで値域は(-∞,∞)
(-∞,∞)におけるsinhxの逆関数はlog(x+√(x^2+1))なので
g(x)の逆関数はlog(tanx+√((tanx)^2+1))　
＝log(tanx+1/cosx)) ∵cosx＞0
=log((sinx+1)/cosx))　

fの逆関数,gの逆関数は一致する。よってf(x)=g(x)

＃もっとすっきりした証明があるかもしれません。
＃値域とか定義域などは確認してください。
No.67209 - 2020/06/23(Tue) 21:18:37
☆ Re: 証明問題についてです / IT
(2)の左辺は(1) の右辺の(2)の右辺は(1)の左辺の逆関数ですね。　どちらかを証明すれば他方は即、言えますね

(2) から証明したほうが早かったですね。
No.67210 - 2020/06/23(Tue) 21:22:33
☆ Re: 証明問題についてです / ast
機械的にやるなら, f(x):=(左辺)-(右辺) を微分して f'(x)=0 (恒等的に零) ⇒ f(x)=(定数) を得て, (定数)=0 を適当な値を代入して確かめるというパターンでいけると思いますが.
# まあ厳密さを要求する場合は, 当然 f'=0 かどうか厳密に言えてるかどうかを気にはするべきですが.

どうでもいいですが, 個人的には双曲線函数の逆函数は ar を前置して arsinh や artanh と書く派です. (arc 弧 から決まる逆三角函数とは異なり, 逆双曲線函数は area 面積 から決まる量なので)
No.67211 - 2020/06/23(Tue) 21:29:27
☆ Re: 証明問題についてです / WIZ
arctan(sinh(x)) と arcsin(tanh(x)) の値域を (-π/2, π/2) として良いなら

(1)
u = arctan(sinh(x)), v = arcsin(tanh(x)) とおき、
-π/2 < u <π/2 かつ -π/2 < v <π/2 とします。

tan(u) = sinh(x)です。

また cos(u) > 0 なので、
sin(v) = tanh(x)
= sinh(x)/√(1+sinh(x)^2)
= tan(u)/√(1+tan(u)^2)
= tan(u)/√(1/cos(u)^2)
= tan(u)/(1/cos(u))
= sin(u)

つまり (-π/2, π/2) で sin(u) も sin(v) も単調増加なので、
sin(v) = sin(u) より u = v と言えます。

(2)
p = arctanh(sin(x)), q = arcsinh(tan(x)) とおき、
-π/2 < x < π/2 とします。

tanh(p) = sin(x) です。

また cos(x) > 0 なので、
sinh(q) = tan(x)
= sin(x)/cos(x)
= sin(x)/√(1-sin(x)^2)
= tanh(p)/√(1-tanh(p)^2)
= tanh(p)/√(1/cosh(p)^2)
= tanh(p)/(1/cosh(p))
= sinh(p)

sinh(p) と sinh(q) は単調増加なので、sinh(q) = sinh(p) より p = q と言えます。
No.67213 - 2020/06/23(Tue) 21:52:12
☆ Re: 証明問題についてです / えび
3名ともありがとうございます。本当に感謝です。
No.67222 - 2020/06/24(Wed) 01:12:18