(問4)平行四辺形0, a, b, a+bと，上で与えた作図法に従って，長方形0, a′, b′′, a′+b′′
を図示せよ.
(12) 最後に，以上の変形を反映した行列式の計算を確認しておきましょう.
|A|= a1 a2 = a1 a2 == a1 0 =a1b′′
bb0b′′ 0b′′ 122
この計算は，P3 による変形のみに基づき，P1 と P2 は用いていないことに，注意する (これは非常に重要).また，b′′ は(問 3)で計算されているはずなので，それを代入
すると 1 つの計算式が得られます(求めてください). • 他の行変形行列 P1 と P2 についても見ておきましょう.
2
(1)P1(1,r), r̸=0は1行目を，r倍します.r>0の場合は，aの長さをr倍するだけなの で，面積も r 倍されるはずです.r < 0 の場合は，a の長さを |r| 倍すると同時に，その ベクトルの向きは逆にします.a とは逆方向のベクトル ra から b を見ると，前とは逆 回りになっているはずです.つまり，符号が逆転します(数値的には −1 倍).そのた め，もとの行列式の (−1) × |r| = r 倍することになります.つまりどちらの場合であっ ても r 倍です.
|P1(1,r)A|= ra =r a
b b であることを理解してください.これは 2 行目のベクトル b についても同様に考えるこ
とができるので，i = 1, 2 に対して次のように表現できます. |A| = 1r |P1(i, r)A| = r|P1(i, 1/r)A|
特に，r = −1 の場合は，
上の関係式は，|A| の計算が目的がなので，もしも P1(i, 1/r) で A を変形したら，r を
|A| = −|P1(i, −1)A| かけて修正しないと等号にならないという形式で与ています.
(2) P2 (1, 2) は 1 行目と 2 行目を入れ替えます.実は，|P2 (1, 2)A| の計算は P3 と P1 を使っ
て求められます.
()( )
P3(1, 2, 1) a = a + b ba
P3(2, 1, −1) P3(1, 2, 1)
()()
a + b = a + b b −a
()()
a + b = b
−a
が成り立ちます.P3 行列による変形は行列式の値を変化させないので，次のような計
算ができます.
ここまでは，P3 行列しか用いていません.これは，P3 のみを用いて，実質的に P2 の 役割を実現できることを示しています.これにより a ベクトルの符号は変わりますが， 通常はそのまま気にせずに，計算を続けていけます.
P1 についてすでに述べた性質により，その符号(−1)を行列式の外に出せば，目的の P2 に関する公式を得ます.
|A| = |P3(1, 2, 1)P3(2, 1, −1)P3(1, 2, 1)A|
= b −a
b b
|A|= −a =− a =−|P2(1,2)A|
(問 5) n = 2 のとき，次の積を右側から順に計算していき(そのつど計算結果を表 記しながら)，最後に得られた行列を P 行列で表現せよ.
P1(1, −1)P3(2, 1, 1)P3(1, 2, −1)P3(2, 1, 1) =
−a
(3) 上の (2) において，−a の負の符号を外に出すためだけに P1 の性質を用いました.そ の符号を −1 として外に出さなくてもよいとするなら，その性質を使う必要はありませ ん.そう考えると，平行四辺形がつぶれていないときは，P3 のみを用いて，対角行列 に変形できることになります.
[1] 今回の課題にある(問4)について，以下に与える具体的なaとbにおいて，具体的な図を 描け.また，最後に得られた長方形に基づく対角行列の行列式を求めよ.2 問に答えよ(正確に， 見やすく描いてあるかで評価する).
(1)a=(−2,1), b=(4,1) (2)a=(4,1), b=(2,3)
[2] 今回の課題にある(問 5) に答よ. P1(1, −1)P3(2, 1, 1)P3(1, 2, −1)P3(2, 1, 1) =
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No.67215 - 2020/06/23(Tue) 22:39:19
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