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記事No.67304に関するスレッドです
★ (No Subject) / 高校生
この問題の(2)で、解答が下にあるのですが、オレンジで矢印をしてあるところがなぜこう言えるのかわかりません。詳しく教えていただきたいです。また、この求め方が1番簡単でしょうか？
No.67304 - 2020/06/26(Fri) 18:29:29
☆ Re: / ヨッシー
矢印がいっぱいありますが、ひときわ濃い
　ＯＨを３：１に・・・
のところですかね？
でもそこは、
　ＯＨの3/4倍　→　(3/4)(ａ＋ｂ＋ｃ)/3＝(ａ＋ｂ＋ｃ)/4
　ＡＪを３：１に内分　→　(ａ＋3ＯＪ)/4＝(ａ＋ｂ＋ｃ)/4
これらは疑いようのないところですし、結果として、
ＯＨ上の点Ｐに対して　ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ
ＡＪ上の点Ｑに対して　ＱＯ＝ＱＢ＝ＱＣ
そして、Ｉはどちらも満たすので、ＩＯ＝ＩＡ＝ＩＢ＝ＩＣ　⇔　Ｉは外心　も明らかです。

その上でまだ不明なところがありますか？
No.67306 - 2020/06/26(Fri) 19:02:18
☆ Re: / 高校生
指摘部分がわかりにくくてすみません。矢印の中身はわかるのですが、なぜ急にこの説明にもっていくのかがわかりません。3:1というのはどこから来るのでしょうか？
No.67319 - 2020/06/26(Fri) 22:11:05
☆ Re: / ヨッシー
正三角形の、重心、内心、外心、垂心は同一の点で、
その点は中線を２：１に内分する、というのは有名な話ですが、
正四面体も、重心、内心、外心、垂心は同一の点で、
その点は中線を３：１に内分する、というのは、ある程度有名な話です。

証明は、△ＡＢＣを底面とすると、高さはＯＨなので、
四面体ＯＡＢＣの体積は　△ＡＢＣ×ＯＨ÷３　です。
一方、四面体ＯＡＢＣの内心は、ＯＨ上のどこかにあり、
それをＩとすると、対称性より４つの四面体
ＩＡＢＣ，ＩＯＡＢ，ＩＯＢＣ，ＩＯＣＡ
は合同な四面体で、体積は四面体ＯＡＢＣの1/4です。
四面体ＩＡＢＣを考えると、四面体ＯＡＢＣと、
底面は共通で、高さがＯＨかＩＨかの違いなので、
　ＯＨ：ＩＨ＝４：１
となります。

このあたりを基礎知識として持っておくと、３：１も見つけやすいでしょう。

これを知らない場合は、ＩはＯＨ上の点なので、
　ＯＩ＝(ａ＋ｂ＋ｃ)×ｔ
の形になることは明らかです。
一方、ＯＡ＝ａ と ＯＪ＝(ｂ＋ｃ)／３ を
うまく比例配分して
　(ａ＋ｂ＋ｃ)×ｔ
このような形になるようにするには、ＯＡはそのままで、ＯＪ の方が３倍
されるような比に内分すれば良いことに気付くと、ＡＪを３：１に内分すれば良いことに気付きます。
No.67325 - 2020/06/26(Fri) 22:47:30
☆ Re: / 高校生
ＯＡはそのままで、ＯＪ の方が３倍
されるような比に内分すれば良いことに気付くと、ＡＪを３：１に内分すればいいことに気づきます。
の部分かいまいちわかりません。理解不足ですみませんが、式などを提示してもらってもよいでしょうか？
No.67328 - 2020/06/26(Fri) 23:15:33
☆ Re: / ヨッシー
ＯＡ＝ａ と ＯＪ＝(ｂ＋ｃ)／３ を
　(ｍＯＡ＋ｎＯＪ)／(ｍ＋ｎ)
に当てはめて、ａ、ｂ、ｃの係数が全部同じになるようにするには、
ｍ、ｎをいくつにすれば良いですか？
を考えると、ＯＪには 1/3 が付いているので、３を掛けてやれば
係数が１に揃うとわかります。
No.67345 - 2020/06/27(Sat) 11:55:01
☆ Re: / 関数電卓
> AJ を 3：1 に内分すればいい… 式などを提示してもらって
ヨッシーさんが書かれた
　OI＝t(a＋b＋c) …<1>
および，I を AJ を s：1−s に分ける点とすると，
　OI＝(1−s)a＋s･(b＋c)/3 …<2>
<1><2>の a, b の係数を比較して t＝1−s, t＝s/3
これを解いて，t＝1/4, s＝3/4
　∴ s：1−s＝3/4：1/4＝3：1
となります。
式で押せばこの通りですが，ヨッシーさんが書かれている
> 対称性より４つの四面体 IABC, IOAB, IOBC, IOCA は合同な四面体で、体積は四面体 OABC の1/4です。… 高さが OH か IH かの違いなので、OH：IH＝4：1
とするセンスが大変重要です。
ところで，質問の対象ではないので余計なことですが，
> (3) 6 辺すべてに接する球
を 中接球 といいます。
No.67347 - 2020/06/27(Sat) 12:54:31