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記事No.67477に関するスレッドです
★ 道路コスパ / Aki
文系成人です。道路建設のコストと経済効果の関係について考えていて、自分で思いついた問題です。

平面上の1辺1kmの正方形の頂点の位置にA,B,C,Dの4都市が存在します。いまA,B,C,Dの4都市を連絡する道路網の建設を計画しています。

道路の建設には1kmあたり1億円の費用がかかります。道路建設後は、6台のトラックを使い、2都市間のピストン輸送（A⇔B、A⇔C、A⇔D、B⇔C、B⇔D、C⇔D）にそれぞれ従事させます。そして、輸送が1回完了するたびに、1万円の経済効果が生まれます。

どのような形の道路網を敷いたときに、一番早く建設費を経済効果が上回るでしょうか。

ただし、
・トラックは常に最短経路を通り、6台とも同じ一定速度で走る。
・どの2都市間にも等しく無限の輸送需要がある（たとえばA⇔B間輸送に従事するトラックは A→B輸送完了と同時にB→A輸送開始可能）。


考察：
・全2都市間に直線道路を敷く場合、平均輸送距離は(4+2*sqrt(2))/6 kmと最短になるが、建設費は(4+2*sqrt(2))億円と高くつく。
・Ｘ字型に敷くと、平均輸送距離はsqrt(2) kmだが、建設費は2*sqrt(2)億円で済むので、上記より明らかに回収が早い。
・4点の最短連絡網型（例の角APB＝CQD＝APQが120度になる形）で敷くと、建設費はもちろん最小になるが、輸送効率との比でもこの型が最強なのか？
・→そうではなさそう。計算ソフトを使ってPとQを真ん中に向かって接近させてみたところ、なぜか角APB=角CQD=約108.8度くらいの時に最強と出た。でもこの型がコスパ最強の保証はない。

考え方の手掛かりがつかめません。アイデアをお持ちでしたらご教示いただきたく。
No.67422 - 2020/06/29(Mon) 19:08:48
☆ Re: 道路コスパ / X
条件設定が足りません。

「経済効果」の定義が多重化していて、何を最適化したいのか
がはっきりしません。

例えば、都市間の経済効果の総和が建設費を
最も早く上回る、ということであれば
都市間の最短直線ルートの一つである、例えば
AB間の直線ルートのみを作り、6台全てを
このルートに走らせればよいことになります。
No.67424 - 2020/06/29(Mon) 19:50:27
☆ Re: 道路コスパ / 関数電卓
> 一番早く建設費を経済効果が上回るでしょうか。
「建設費を償却するする時間が最短な建設の仕方は？」と読めますが，それで良いのだろうか？
No.67425 - 2020/06/29(Mon) 19:57:51
☆ Re: 道路コスパ / Aki
たしかに不明確でした。一番早く建設費を償却できる敷き方という解釈で結構です。ある期間内に経済効果最大になる敷き方が全都市間最短距離敷設なのは当然ですね。
No.67427 - 2020/06/29(Mon) 20:25:50
☆ Re: 道路コスパ / Aki
なお、6台は常にそれぞれがAB間、AC間、AD間、BC間、BD間、CD間の専用線という設定で、全部がAB間を走ったりすることはありません。AB間をピストン輸送するのは同一の1台だけです。
No.67428 - 2020/06/29(Mon) 20:40:20
☆ Re: 道路コスパ / IT
> 平均輸送距離はsqrt(2) kmだが

その条件の場合は、平均輸送距離を評価するのではなくて

６つのルートの距離の逆数の和（∝輸送回数の和）を評価する必要があるのでは？

全体としては、　６つのルートの距離の逆数の和/建設距離の和　が最大になるようにする。
No.67434 - 2020/06/29(Mon) 21:43:06
☆ Re: 道路コスパ / 関数電卓
> 一番早く建設費を償却できる敷き方という解釈で結構
> 1辺1kmの正方形の頂点の位置にA,B,C,Dの4都市
> 道路の建設には1kmあたり1億円
> 輸送が1回完了するたびに、1万円の経済効果（稼ぎ）
このような設定の場合，都市間にのべ数万回以上の輸送が必要なわけで，
> 2都市間にも等しく無限の輸送需要がある
> A→B輸送完了と同時にB→A輸送開始可能 ← 時間の無駄はない
とき，単位時間あたりの稼ぎは，道路の総距離に反比例する。…(1)
建設費は距離に比例する …(2) から，償却時間は (2)/(1) で，距離の２乗に比例する。よって，これが最小なのは距離が最小となる
　・4点の最短連絡網型（例の角APB＝CQD＝APQが120度になる形）
である。現時点では，私はこう思いますが，全幅の自信は…やや…？！？
No.67435 - 2020/06/29(Mon) 22:04:09
☆ Re: 道路コスパ / 関数電卓
IT さんが正しいですね。失礼しました。
No.67436 - 2020/06/29(Mon) 22:23:02
☆ Re: 道路コスパ / Aki
大変わかりやすい解説ありがとうございます。

ITさん、関数電卓さんの説明を合わせて考えると、
「6つのルートの距離の逆数の和/建設距離の和が最大になる」
図形とは、結局
「4点の最短連絡網型（例の角APB＝CQD＝APQが120度になる形）」
ということになるのでしょうね。
No.67455 - 2020/06/30(Tue) 18:33:24
☆ Re: 道路コスパ / IT
> 「6つのルートの距離の逆数の和/建設距離の和が最大になる」
> 図形とは、結局
> 「4点の最短連絡網型（例の角APB＝CQD＝APQが120度になる形）」
> ということになるのでしょうね。
違うと思います。
No.67456 - 2020/06/30(Tue) 18:38:34
☆ Re: 道路コスパ / 関数電卓
私も「違います」。
IT さんの
　６つのルートの距離の逆数の和（∝輸送回数の和）を評価する必要がある
が本質です。具体的な評価を，後に書きたいと思います。
No.67458 - 2020/06/30(Tue) 18:52:06
☆ Re: 道路コスパ / Aki

と思ったのですが、試しに


V= (6つのルートの距離の逆数の和/建設距離の和)
と置いて、

「4点の最短連絡網型（例の角APB＝CQD＝APQが120度になる形）のとき」...(1)
と
「(1)のときの点Pと点Qをそれぞれ正方形の重心方向へまっすぐわずかにスライドさせ、角APB＝CQD＝118度になる形のとき」...(2)
でVの値を比較してみたら、

(2)のときの方が大きくなってしまいました。違いますね。

結局どんな図形のときVが最大になるのでしょう。
No.67459 - 2020/06/30(Tue) 18:52:20
☆ Re: 道路コスパ / 関数電卓
縦横の対称性は考えて良い(？)でしょうから，図左のように道路を建設したとします。
図のように x を定めると，
　道路の距離の和　＝4√(1＋x^2)＋2−2x …(1)
　6 経路の逆数の和＝1/√(1＋x^2)＋2/(√(1＋x^2)＋1−x) …(2)
(2)/(1)をグラフにすると図右のようになり，x≒0.596 で最大値≒0.390 をとり，
このとき ∠APB≒118.4°になるようです。最短路 120°にかなり近い。
尚，計算は こちら にやってもらいました。
No.67477 - 2020/06/30(Tue) 23:54:27
☆ Re: 道路コスパ / Aki
ご丁寧にありがとうございます。やはり縦横の対称性はあると考えてよろしいんですかね？　感覚的な話ですけど、非線対称だけど点対称な図形、あるいは四方対称な図形の一部みたいな形が最大になる可能性って考えなくてもいいですか？
No.67489 - 2020/07/01(Wed) 07:13:53
☆ Re: 道路コスパ / 関数電卓
非対称な場合等をきちんと考察して除いた訳ではありませんが，おそらく↑が本星でしょう。
評価すべき関数がこれだけ複雑になると，考えてみようという食指が動きません。すみません。
実際問題としては数値的に調べるのが一番堅実で，ABCD 内を細かな格子に分割 (初めは 1/10 or 1/20 程度に) し，P, Q をすべてに置く虱潰しを敢行する。大きな傾向がわかったら，その点の近傍をさらに細分して調べる。この程度ならば，Excel でマクロを組んでもさほど大変ではありません。
No.67495 - 2020/07/01(Wed) 16:21:38
☆ Re: 道路コスパ / Aki
思ったより複雑ですね。やはりしらみつぶし的な解法しかないんでしょうかね。PQ枝分かれ型が正解の保証もなさそうですから、ちゃんとやろうとすると計算膨大になっちゃいますね。
ありがとうございました。
No.67499 - 2020/07/01(Wed) 17:55:32
☆ Re: 道路コスパ / 関数電卓
No.67477 の結果が「コスパ最良」の証明ではありません。しかしながら，(憶測ですが) これより劇的に良いルートがあるとも考えにくい。
この結果が『最短ルートに』かなり近いことを考えると，ルートが長くなるほど建設費がかさむ訳で，今回のモデルでは考慮されていない
・建設のための借入金返済のための利払い
・長くなるほど，メンテナンス経費も膨らむ
等の事情もあり，(私見ですが) 現実的には 最短ルートが良い ことになるように思われます。　
No.67519 - 2020/07/02(Thu) 21:42:19