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記事No.67542に関するスレッドです
★
発展です
/ aiko
引用
この問題も教えてください！
No.67542 - 2020/07/03(Fri) 23:07:49
☆
Re: 発展です
/ X
引用
(1)
1回目に6の目が出て,2,3回目で6以外の目が出ればいいので
求める確率は
(1/6)(5/6)^2=25/216
(2)
(1)と同様に考えると
n-k-1回目に6の目が出て
それ以降からn回目までは6以外の目が出る
ということになればよいので
p[k]=(1/6)(5/6)^k
(3)
(2)の結果により
E[n]=Σ[k=1〜n]kp[k]
=(1/6)Σ[k=1〜n]k(5/6)^k
∴
(5/6)E[n]=(1/6)Σ[k=1〜n]k(5/6)^(k+1)
=(1/6)Σ[k=2〜n+1]k(5/6)^k
(k+1を改めてkと置いた)
=(1/6)Σ[k=2〜n]k(5/6)^k+(1/6)(5/6)^(n+1)
つまり
E[n]=(1/6)Σ[k=1〜n]k(5/6)^k (A)
(5/6)E[n]=(1/6)Σ[k=2〜n]k(5/6)^k+(1/6)(5/6)^(n+1) (B)
(A)-(B)より
(1/6)E[n]=(1/6)Σ[k=1〜n](5/6)^k-(1/6)(5/6)^(n+1)
=(1/6)(5/6){1-(5/6)^n}/(1-5/6)-(1/6)(5/6)^(n+1)
=(1/6)(5/36){1-(5/6)^n}-(1/6)(5/6)^(n+1)
∴E[n]=(5/36){1-(5/6)^n}-(5/6)^(n+1)
No.67545 - 2020/07/04(Sat) 08:49:13
☆
Re: 発展です
/ ヨッシー
引用
(2) は ｋ＝ｎ のときは例外的に
p[k]＝(5/6)^k (k＝n)
となります。
これを基に(3)の期待値を計算すると、
(3)
Ｅ[n]＝Σ[k=1〜n-1]ｋ・5^k/6^(k+1)＋ｎ・5^n/6^n
で計算できます。
Ｓ＝Σ[k=1〜n-1]ｋ・5^k/6^(k+1)
とおくと、
Ｓ＝1・5/6^2＋2・5^2/6^3＋・・・＋(n-1)・5^(n-1)/6^n
(5/6)Ｓ＝1・5^2/6^3＋3・5^3/6^4・・・＋(n-2)・5^(n-1)/6^n＋(n-1)・5^n/6^(n+1)
上式から下式を引いて
(1/6)Ｓ＝5/6^2＋5^2/6^3＋5^3/6^4・・・＋5^(n-1)/6^n−(n-1)・5^n/6^(n+1)
Ｓ＝5/6＋(5/6)^2＋・・・＋(5/6)^(n-1)−(n-1)・(5/6)^n
＝5−6(5/6)^n−(n-1)・(5/6)^n
よって、
Ｅ[n]＝5−6(5/6)^n−(n-1)・(5/6)^n＋ｎ・(5/6)^n
＝5−5(5/6)^n
No.67546 - 2020/07/04(Sat) 09:06:39
☆
Re: 発展です
/ aiko
引用
ヨッシーさんもXさんもありがとうございました！
理解できました。
ちなみに、なんでn=kのときは確率が違うと分かったんですか？普通の思考回路ですか？
No.67554 - 2020/07/04(Sat) 10:13:28
☆
Re: 発展です
/ ヨッシー
引用
ｋ＝ｎのときは６が出ることがないので、
他とは違うなと思ったことと、そのきっかけになったのは、
p[k]＝5^k/6^(k+1)
という式です。ｋ＝ｎだと ｎ＋１乗になり、回数を超えるので、
調べてみようと思ったことからです。
No.67559 - 2020/07/04(Sat) 11:36:05
