ヨッシーさんならこの変形どうやってやりますか？
問題の途中の変形だったので→の向きに変形していただけると助かります。
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No.67579 - 2020/07/04(Sat) 19:22:27
| ☆ Re: お願いします(高3) / ast | | | # 一部の記述を整理しました (内容は変えてないつもりです)
ヨッシーさんではないので恐縮ながら, 直接的な回答は控えつつ賑やかし程度に, 組合せ論っぽい感じの別解法を挙げてみるとします:
以下, n から k 選ぶ組合せの数を comb(n,k) と書くことにします.
# もとの質問を明示公式 comb(n,k)=n!/(k!(n-k)!) に基づいた計算の話と受け取って
# それを避けてという意図でここでは別解と言っています. まあ, 要求された内容を,
# ?納j=k-1,…,n] comb(j,k-1) の値が未知の状態から, 計算でcomb(n+1,k) に等しいことを導け
# という意味でとるなら, これも計算法のひとつと言っていいかなというつもりです.
以下の方法では
[*] comb(n,k) は (1+x)^n における x^k の係数に等しい.
という事実 (まあ, 二項定理のひとつの述べ方です) を用います.
--- 証明 ---
[*] に基づけば, j=k-1,…,n のとき comb(j,k-1) は (1+x)^j における x^(k-1) の係数だから, 求める和は ?納j=k-1,…,n] (1+x)^j における x^(k-1) の係数と一致する.
ここで, ?納j=k-1,…,n] (1+x)^j は初項 (1+x)^(k-1), 公比 (1+x), 項数 n-(k-1)+1 の等比数列の和であるから, 公式により
(1+x)^(k-1){(1+x)^(n-(k-1)+1)-1}/((1+x)-1) = {(x+1)^(n+1)-(x+1)^(k-1)}/x
と書き直せる. よって, 求める和は分子 (x+1)^(n+1)-(x+1)^(k-1) における x^k の係数 (分母の x のぶんだけ次数がずれてることに注意) として求められるが, -(x+1)^(k-1) は高々 k-1 次だから x^k の項は (x+1)^(n+1) にしか現れない. 結局, 求める和は comb(n+1,k) である. //[証明終了]
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No.67585 - 2020/07/04(Sat) 20:34:14 |
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