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記事No.67640に関するスレッドです
★ 集合論の証明問題 / ほげほげ
画像にある問題は、大学の一般教養科目「数学基礎」の集合論に関する証明問題です。

現在大学の通信課程に在籍しており、文系且つ周囲に質問ができる人がおらず、途方に暮れております。

計算過程と併せて、解答解説をご教示いただきたく存じます。

よろしくお願い致します。
No.67610 - 2020/07/05(Sun) 02:14:18
☆ Re: 集合論の証明問題 / IT
「半順序集合」、「全順序集合」の定義はどう書いてありますか？
違いは分りますか？（「全順序集合」が満たして「半順序集合」が必ずしも満たさない条件）
No.67612 - 2020/07/05(Sun) 06:47:41
☆ Re: 集合論の証明問題 / ほげほげ
> 「半順序集合」、「全順序集合」の定義はどう書いてありますか？
> 違いは分りますか？（「全順序集合」が満たして「半順序集合」が必ずしも満たさない条件）

「半順序集合」、「全順序集合」、「冪集合」、「部分集合」、「真部分集合」について、大学のテキストでは添付画像のような説明がされていました。
No.67624 - 2020/07/05(Sun) 12:52:44
☆ Re: 集合論の証明問題 / IT
すべてのA∈2^X,B∈2^X,C∈2^Xについて

1)Aのすべての元はAに含まれるので、A⊆Aは成立する。

2)A⊆BかつB⊆Aが成立するなら
A⊆BよりAのすべての元はBに含まれ
B⊆AよりBのすべての元はAに含まれるので
A＝Bが成立する。

3) A⊆BかつB⊆Cが成立するなら
Aのすべての元はBに含まれ、
Bのすべての元はCに含まれるので
Aのすべての元はCに含まれる。
よって、A⊆Cが成立する

以上から、（2^X,⊆）は、半順序集合である。

Xが２つ以上の元を含むとき、
　Xの異なる２つの元をa,bとすると、{a}⊆{b},{b}⊆{a}ともに成立しない。
　よって、（2^X,⊆）は、全順序集合ではない。

「Aのすべての元はAに含まれる。」などは、記号を使った表現でもOKです。テキストの表記に従ってください。
No.67636 - 2020/07/05(Sun) 19:09:52
☆ Re: 集合論の証明問題 / IT
後半、
(2^X,⊂）では、1)が成り立たないので、半順序集合ではない。
A∈2^Xについて　A=A であり　A⊂Aは成り立たない。
No.67637 - 2020/07/05(Sun) 19:22:09
☆ Re: 集合論の証明問題 / ほげほげ
詳しいアドバイスありがとうございます。

アドバイスを元に、添付画像にあるような解答を作成しました。

元について、テキストの表記では要素になっていましたので、それに準拠しました。
No.67640 - 2020/07/05(Sun) 20:47:01
☆ Re: 集合論の証明問題 / IT
いいと思います。
「すべての・・・・に対して、」がどこまでに掛かるかに気をつける必要がありますが、テキストの書ぶりに合わせておられるので、それで良いとおもいます。
No.67641 - 2020/07/05(Sun) 20:56:59