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記事No.67752に関するスレッドです
★ 大学1年 / ぽん
積分計算が分かりません。どなたか解答お願いします。
No.67752 - 2020/07/08(Wed) 15:59:03
☆ Re: 大学1年 / ast
(1) は t=x^2 と置くと, ∫_[0,1] t^(n-1/2)dt/√(1-t), これはベータ函数 B(p,q)=∫[0,1]t^(p-1)(1-t)^(q-1)dt で表せば B(n+1/2,1/2) =Γ(n+1/2)Γ(1/2)/Γ(n+1)=(√π/n!)*Γ(n+1/2)

(2) は複素変数 z を極形式 z=r*(cos(θ)+i*sin(θ)) (r は固定) で書くとき, |1-z|^2=(1-z)(1-z~)=1-2Re(z)+|z|^2=1-2r*cos(θ)+r^2 となるから, 複素線積分 ∫_γ dz/|1-z|^2 に帰着, の後の処理が分からん(おい
No.67754 - 2020/07/08(Wed) 18:00:00
☆ Re: 大学1年 / 関数電卓
(2)
　I＝∫[0,π]dθ/(1−2rcosθ＋r^2)
　 ＝1/(1＋r^2)･∫[0,π]dθ/{1−2r/(1＋r^2)･cosθ}
2r/(１＋r^2)＝p (＜1) と置くと
　J＝∫[0,π]dθ/(1−pcosθ)＝π/√(1−p^2) …(*)
だから
　I＝1/(1＋r^2)･π/√{1−(2r/(1＋r^2))^2}
　 ＝π/√{(1＋r^2)^2−4r^2}
　 ＝π/(1−r^2)
# (*)の積分は tan(θ/2)＝u と置換すると，やや面倒な計算の後，右辺が得られます。
# 複素積分でも，当然ながら同じ結果が得られます。
No.67755 - 2020/07/08(Wed) 18:01:45
☆ Re: 大学1年 / X
>>astさんへ
z=re^(iθ)
と置くのであれば
dz=izdθ
∴(与式)=-i∫_γ dz/{z|1-z|^2}
では？
No.67757 - 2020/07/08(Wed) 18:36:37
☆ Re: 大学1年 / ast
> Xさん
ご指摘の通りですね, すみません>all
No.67759 - 2020/07/08(Wed) 18:55:21