すみません、写真の問題を解説、若しくは途中計算を教えて頂けませんか？よろしくお願いします。
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No.67879 - 2020/07/13(Mon) 15:15:31
| ☆ Re: 大学3年の数学 / X | | | ご質問の問題は問題のサイトの2.,3.と同様な方針で
考えます。
2.と3.の違いですが、まず
変数分離法により
u=X(x)T(t)
と置いてX(x),T(t)についての
常微分方程式(偏微分方程式ではありません)
を導き出して解くところまでは
同じです。
ここでλはどのようにも値を取ることができる
定数であることに注意して下さい。
異なるのはその次の段階で
2.対象が無限長(=境界条件がない)
3.対象が有限長(=境界条件がある)
ことで最終的なu(x,t)の形が異なる点です。
3.の場合は有限長(この場合はlですが)の現象が
周期lで生じていると考えます。
(その際、区切りとなっているのが境界条件である
u(0,t),u(l,t)
の値です。)
従ってλは連続した値ではなくて
離散的な値を取ることになります。
この離散的な値λをλ[n](n=1,2,…)とすると
u(x,t)=Σ[n=1〜∞](A[n]cosλ[n]x+B[n]sinλ[n]x)e^{-(λ[n]^2)x}
(注)問題のサイトでの問題設定ではcosλ[n]xは抜けていますが
これは境界条件を適用した結果です。
ご質問の問題はこの3.の場合に当たります。
それに対し、2.はλが連続的な値を取る場合でu(x,t)は
λに関する積分の形を取ります。
ということで3.をもう一度読み直してご質問の問題を
解いてみて下さい。
注)
上記の2.、3.の説明はかなり大雑把です。
数学的には詰めが足りないこと(=厳密性に欠ける)を申し添えておきます。
この問題を出題した講義の担当教授に、この問題を解くにあたって
必要な数学の科目、及びそれを学習するのに最適な専門書を
お聞きすることも一つの方法です。
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No.67913 - 2020/07/14(Tue) 06:58:21 |
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