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記事No.67914に関するスレッドです
★ 関数の連続 / Ran
この問題を解いたのですが、答えがなくって困ってます。

お願いします！
No.67914 - 2020/07/14(Tue) 10:41:56
☆ Re: 関数の連続 / ヨッシー
(1)
0≦ｘ＜1 では [x]＝0 なので、[x] は０に置き換え、ｘはそのまま。
(2)
1≦ｘ＜2 では [x]＝1 なので、[x] は１に置き換え、ｘはそのまま。
(3)
(1) の式に(定義はされていませんが)ｘ＝１ を代入すると
　f(1)＝１
よって、ｘが１よりやや小さい値から１にどんどん近づくと f(x) の
値は、１に近づきます。
一方、(2) の f(1) が１になるようにａを調節すれば、f(x) はｘ＝１ で連続に
なります。
(4)
f(x+1)−f(x)＝1−(x+1)＋(x+1)^2＋a[x+1]−2(x+1)[x+1]＋[x+1]^2−1＋x−x^2−a[x]＋2x[x]−[x]^2
　　＝1−(x+1)＋(x+1)^2−1＋x−x^2　＋　a[x+1]−2(x+1)[x+1]＋[x+1]^2−a[x]＋2x[x]−[x]^2
　　＝2x　＋　a([x+1]−[x])−2x([x+1]−[x])−2[x+1]＋([x+1]−[x])([x+1]＋[x])
[x+1]−[x]＝1 より
f(x+1)−f(x)＝2x　＋　a−2x−2[x+1]＋([x+1]＋[x])
　　＝a − ([x+1]−[x])
　　＝a−1
(5)
f(x+1)＝f(x) となるので、f(x) は周期１の周期関数になります。
ですので、
　∫[0〜n]f(x)dx＝ｎ∫[0〜n]f(x)dx
よって、0≦ｘ＜1 の範囲のみ考えればよく
　∫[0〜1]f(x)dx＝5/6
より、
　∫[0〜n]f(x)dx＝5n/6
No.67915 - 2020/07/14(Tue) 13:25:05
☆ Re: 関数の連続 / Ran
………….、ありがとうございました！

よくわからんかったけど、助かりました！
No.67957 - 2020/07/15(Wed) 14:46:03
☆ Re: 関数の連続 / ヨッシー
いえ。
助からないかも知れませんよ。

(1) から順番に解いていかないと、理解できないように書いていますし、
答えも違ってるかも知れませんしね。

役立つかどうかは本人次第です。
No.67958 - 2020/07/15(Wed) 14:56:46