| 関数電卓さんのおっしゃるネット上に「直接の証明の記述」が見当たらない, というのは |X,O;Y,Z|=|X||Z| …?@ (零行列 O が左下にくる場合も同様. なお "," で横の区切り, ";" で縦の区切りとしています) は既知の事項として証明している, という意味と思われるので, IT さんの示されたページも同様であると思います.
齋藤も（佐武も）演習としてこれが出ていますが, 実は行列式の基本変形による特徴付けの話の一部として本文で?@を解説してあるので, そこを抜かしたのでは
> すれば良いのでは？
と言うにはラフすぎる回答になってしまうのではないでしょうか. (まあ, 質問者自身が?@ならば既習であるという可能性もありますし, 既習であれば単純な基本変形の話ですから, そのくらいの平易な扱いの問題ということにはなりますが.)
ということで
[0] |X,O;Y,Z|=|X||Z| を示せ.
を (これを未習と仮定して) 問題を追加します.
佐武や斎藤本に従って問題 [0] の証明のスケッチだけ書いておきますが, X 以外を固定して |X,O;Y,Z|=f(X) と見るとき, X に関する列変形を見ると, X の下ブロックが O なおかげで行列式の特徴付けである基本変形に対する性質を f はすべて満たすので, |X,O;Y,Z|= f(I)|X| と書けることはすぐにわかります. あとは |X| の係数として出てきた X に単位行列 I を代入したときの値が f(I)=|Z| であることを行列式の定義 (置換を用いた明示公式によるもの) に戻って示します.
# 転置をとってOを左下にしたり, f を X でなく Z の函数と見たりしても基本的には同様にできます.
## 真面目に全部かくとなると, (I,O;Y,Z) の行列式の非零項があらわれるのは
## X=I に属する成分上は恒等的に作用する置換のところだけなので, この置換を
## n 文字の置換とみなせること, そのときの項へのX=I の寄与は 1 であること,
## などから |Z| の定義式が現れていることを確認する.
## という作業になりますので, たぶん掲示板でやっても読みづらくて混乱するだけ
## (成書で読んでても理解するのが大変) だと思いますので, No.67985 に一票.
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No.68003 - 2020/07/16(Thu) 08:33:16 |
