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記事No.68071に関するスレッドです
★ (No Subject) / マシュマロ
どのように証明したらいいのかわかりません。ご教授いただきたく思います。
No.68071 - 2020/07/18(Sat) 19:31:15
☆ Re: / ast
一次独立であること: αf+βg=0 のとき, (αf+βg)(x,y)=(α+5β)x+(-2α+3β)y≡0. よって [α+5β=0 かつ 2α-3β=0] ⇔ α=β=0.
生成系であること: 任意の h∈V* をとり, h(1,0)=γ, h(0,1)=δ と書く. このとき, h=(1/13)(3γ-5δ)f+(1/13)(2γ+δ)g が成り立つ.
# dim(V)=dim(V*) を使ってもいいなら一次独立を言うだけで終わりでもいい.
No.68073 - 2020/07/18(Sat) 20:34:33
☆ Re: / マシュマロ
一次独立であることと生成系であることを言えたので、基と言えるという認識で宜しいでしょうか？
また、問題の{f,g}という書き方は合成関数のことを表してますか？なにのことか分からないので教えてください。
No.68076 - 2020/07/18(Sat) 20:58:39
☆ Re: / ast
> 基と言えるという認識で宜しいでしょうか？
イエスかノーかというならイエスだけど, これはさすがに聞き返しているようだとまずいので, 基の定義をちゃんと確認してください. あるいは基の定義ではそのような条件を見ればいいとは読み取れないので証明になっているのか分からないということであれば, 使っているテキストの基の定義に合わせて証明を書くべきでしょうから定義を全部提示してください.

> 問題の{f,g}という書き方は(中略)なにのことか分からない
それ自体は一般的な集合の(外延的)記法ですが, たとえば V の基はどう表していたのですか? (その基に属する基底ベクトルが分かっているときの話です)
V* はその元が写像だというだけでただのベクトル空間 (要するに f も g もただのベクトル) なので, 普通の一般のベクトル空間の場合と比べて特異な記法を使わないといけないわけではないですね.
また, これが何のことか分からないなら, No.68073 がなぜ f と g の一次結合を計算したり f と g で V* の任意の元を表せるか調べている理由もわかっていないということになりますので, この追加質問は見過ごせないくらい深刻です.
No.68078 - 2020/07/18(Sat) 21:09:50
☆ Re: / IT
V* の意味も分っておられないのでは？
No.68079 - 2020/07/18(Sat) 21:10:05
☆ Re: / ast
IT さん> V* の意味も
そうかもしれませんね. だとすると, 写像 f と x (任意の値) における値 f(x) の区別もできてない状態ということも想定しなければいけないのかもしれません.
No.68082 - 2020/07/18(Sat) 21:20:13
☆ Re: / マシュマロ
そうですね。そもそも双対空間で基底をどのように証明すべきからわかりません。
No.68085 - 2020/07/18(Sat) 21:29:23
☆ Re: / IT
証明は、ast　さんが 提示しておられます(No.68073)が？
分らないようなら　ast　さんのアドバイス(No.68078 )
をよく読んだ上で、テキストの定義に戻ることをお勧めします。
No.68087 - 2020/07/18(Sat) 21:47:50
☆ Re: / 上白石萌音
失礼します。双対空間とは一体何なのか教えていただきたいです。
No.68090 - 2020/07/18(Sat) 22:01:41
☆ Re: / ast
No.68078で書いた通り, 双対空間と言っても (その元の具体的な正体を無視すれば) ただのベクトル空間なので, No.68085のような疑問は追求していけばベクトル空間 V* における基本概念である (線型)写像のスカラー倍, (線型)写像の(元ごとの)和, 写像が等しいということの定義が分かってるかどうかに行きつくのではないでしょうか.

本問に挑む前段として以下の問題を追加しておきます:
　[0] V* の元 f,g に対して,
　　[0-i] 一次結合 αf+βg (α,β はスカラー) とはどのように定義された写像ですか?
　　[0-ii] また, この一次結合が線型写像であることは示せますか?
　　[0-iii(a)] f が写像として 0 に等しい (これを f=0 あるいは f≡0 と書きます) とはどういうことか定義を書いてください
　　[0-iii(b)] 等式 αf+βg=0 が成り立つとはどういう意味か分かりますか? (定義域の元 v∈V における値 f(v), g(v) の言葉で述べてください)
No.68092 - 2020/07/18(Sat) 22:11:24
☆ Re: / ast
> 双対空間とは一体何なのか教えていただきたいです。
(曖昧な書き方の質問なので意図がうまく汲めないけど) そこまでいくとさすがに掲示板でやるような話ではない (体系的に解説するには大仰すぎるし半端にかいつまんでやっても誤解や誤読を生むだけになりかねない) と思われるので, 教科書真面目に読んでくれとしかいいようがなくなります.
No.68093 - 2020/07/18(Sat) 22:23:59
☆ (No Subject) / マシュマロ
No.68092
このレベルからやり直したいので、前段の問題の答えの追加を希望します。ご丁寧に本当ありがとうございます。
No.68095 - 2020/07/18(Sat) 22:29:11
☆ Re: / ast
No.68092の [0] はこちらから積極的に答えを書き出すつもりはしていません (もちろん答案が提示されれば添削はしますが). これは, (No.68093 でも書いたけれど) 基本事項 (とくに定義) が (質問者自身が納得して自信もってこうだと) それなりに書けるようになってからじゃないと説明しても誤解させるだけになりかねないと思う (ので, 納得いくまで自分で考えて欲しい) からです.

これらの定義はさすがに教科書にあるはずなので, 探せると期待します (書いてないのにこの問題が出るとは思いづらいですが, もし本当に書いてないなら出題者に文句を言ってこの問題は免除してもらうという手もあるかもしれません (あるとは言ってない)).
# まあ普通に考えると, 手持ちのテキストが心許ない内容の場合は,
# まともな線型代数の教科書を一冊買い足すのがまっとうでいいんじゃないですかね.
あるいは, 教科書に記述があるのは見つけたが意味がよく分からないというようなときは, 具体的にどういう記述があってどんな風に分からないか書いてくれれば補足するくらいはできるかもしれません (すると保証したということではないので先にそれは謝っておきますが).
No.68098 - 2020/07/18(Sat) 23:31:55