どのように証明すればよいのかまったくわかりません．
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No.68117 - 2020/07/19(Sun) 17:34:50
| ☆ Re: 中間値の定理？ / IT | | | もっとストレートな方法があるかも知れませんが、定積分を使ってみました。
b,c ∈(0,a) ,b＜c とする。
f(0)=0 なので､
f(b)/b=∫[0,b]f'(t)dt/b, f(c)/c=∫[0,c]f'(t)dt/c
f''(x)＞0なので f'(x)は狭義単調増加
したがって
x ∈(0,b)でf'(x)＜f'(b) よって ∫[0,b]f'(t)dt＜bf'(b)
x ∈(b,c)でf'(b)＜f'(x) よって ∫[b,c]f'(t)dt＞(c-b)f'(b)
等号が成り立たないことを示すには、もう少し厳密な議論が要るかも。
∴∫[b,c]f'(t)dt＞(c-b)∫[0,b]f'(t)dt/b
f(c)＝∫[0,b]f'(t)dt+∫[b,c]f'(t)dt
＞∫[0,b]f'(t)dt+(c-b)∫[0,b]f'(t)dt/b
＝(c/b)∫[0,b]f'(t)dt
＝(c/b)f(b)
∴f(c)/c＞f(b)/b
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No.68120 - 2020/07/19(Sun) 18:30:53 |
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