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記事No.6813に関するスレッドです

逆関数 / aki
こんにちは。
すみません新しい質問お願いします。
http://y.upup.be/?WHjIITyDE6
のまず(1)ですが、xについてまとめて、それから割る時にyC−aが=0じゃないことを示すのは確かに納得なのですが、 そうすると他の問題と比較して
http://s.upup.be/?hLhcEYd1tD
なども全て文字では無いにせよ文字が入っているので逆関数を求める際の割る時に、=0ではないことを確認しないといけないような気がするのですが、この時は確認しませんでした。混乱してしまいます…
どうしてこの時は=0ではないことの確認をいれないのでしょうか?

また(2)もそのまま文字の係数比較ができないのはなぜでしょうか?

そして、答えにより進めるとCx^2−(a−d)x−b=0が不適であることを証明しなければならなくて、これはad≠0だからf(x)=xとなるので不適である

となるそうですがこの部分が理解できません。
すみませんどうか宜しくお願いします。

No.6747 - 2009/07/14(Tue) 18:56:11

Re: 逆関数 / ヨッシー
yc-a=0 を示していますか?
断りを入れているだけではないですか?
逆関数も、分数の形になりますが、その時点で、
分母≠0 は自明であり、定義域からも自然と(もちろん明記される
ことも多いですが)除かれます。

>Cx^2−(a−d)x−b=0が不適であることを証明しなければならなくて
これは、どういう式変形がされて、ad≠0 だから不適と
なっているのでしょうか?

No.6781 - 2009/07/15(Wed) 15:00:10

Re: 逆関数 / aki
答えは(1)は
http://r.upup.be/?NjGoZkyPZn
のようになっていて軽く証明してあります。
(2)はhttp://w.upup.be/?7bR9Gw3Y4bです。

No.6789 - 2009/07/15(Wed) 19:51:16

Re: 逆関数 / ヨッシー
いずれの画像も、本問に関係の無い画像です。

また、前にもお願いしましたが、
●左右がいつも切れているので、十分広めに撮ってください。
加えて
●800×600=48万画素 程度で撮ってください。
 現行の1600×1200では、画面に入りきらずに読みにくいです。

No.6799 - 2009/07/16(Thu) 08:28:33

Re: 逆関数 / angel
正直言うと、問題文は画像でなく、文章として入力して貰った方が分かりやすいですね。
※図付の問題や、記号類が込み入っていて入力し辛い問題もありますから、「画像がダメ」というわけではないですが…

特に、自分の考えを説明する時は、「文章化する」という行為で考えそのものが練られますから、画像で済ませるのはある意味もったいないです。

あと、分からない問題を集中的に複数質問するせいか、時々画像の取り違えが見られます。それについては、まあ、気をつけて十分確認してください、としか…
※いや、画像が間違えていても、私などは無視するだけなので、実質損をするのはakiさんだけなのですが。

No.6801 - 2009/07/16(Thu) 13:09:31

Re: 逆関数 / angel
さて、今回の問題についてですが、「分母が 0 かどうか」を気にすべき場面はないはずです。

解き方についても複数あるので、参照されている解答例をまずは載せて頂いた方が良いです。
※(1),(2)のラインでいくと(3)だけ仲間はずれになり、(2),(3)のラインでいくと(1)が仲間はずれになるという、小問の位置づけが微妙な点、関数の定義域の扱いに触れていない点等、ちょっといやらしいですね。

No.6802 - 2009/07/16(Thu) 13:21:24

Re: 逆関数 / aki
いつもご迷惑をおかけして申し訳ありません。入力できるものは頑張ります。
画像のサイズを下げればよいのでしょうか?ちなみに
(1)http://w.upup.be/?7rJZadoupD
(2)http://r.upup.be/?xw3IaJ9rBu
です。
ごめんなさい…

No.6808 - 2009/07/16(Thu) 20:29:28

Re: 逆関数 / aki
いつもご迷惑をおかけして申し訳ありません。
画像のサイズを下げればよいということでしょうか?

ちなみに撮ってあった画像は
(1)http://w.upup.be/?7rJZadoupD
(2)http://r.upup.be/?xw3IaJ9rBu
です。

No.6809 - 2009/07/16(Thu) 20:31:12

Re: 逆関数 / angel
えっと…。
この画像にある解答例は、(1)は一応正解ではあるでしょうがお勧めしません。私なら確実にボツにします。
(2)はまぁこんなものでしょうけど。

最初におさえておきたいのは、元の関数のグラフの形状です。
可能性としては、
 1. 分子が分母で割り切れる y=定数 のパターン
  … ad-bc≠0 のため、今回はなし
 2. c=0 で、y=(xの一次式) となるパターン
 3. その他、xy=定数 をずらした双曲線
です。この話は解答に書くものではないですが、把握しておくと、少なくとも(2)には役に立ちます。

No.6811 - 2009/07/17(Fri) 00:00:27

Re: 逆関数 / angel
で、(1)を解答するなら、こうします。

i) y=(ax+b)/(cx+d) の分母・分子が共に0になることがないことを述べる。背理法を使って ad-bc≠0 と矛盾することを言えば良いです。

ii) y=(ax+b)/(cx+d) ⇔ y(cx+d)=ax+b と変形する
 i)が済んでいれば、この変形は同値変形となります。

iii) x,yを入れ替えて逆関数を求める
 x(cy+d)=ay+b を y についてまとめれば終わり。
 一応、a=c=0 が ad-bc≠0 のためありえないことは言って置いた方が良いでしょうか。

No.6812 - 2009/07/17(Fri) 06:07:29

Re: 逆関数 / ヨッシー
画像の大きさで言えば、この程度(400×300)で十分です。

ただ、デジカメだと、ここまで解像度の低いのは、無理でしょうから、
640×480 とか 800×600 で良いです。

ひょっとして、カメラは携帯のですか?

No.6813 - 2009/07/17(Fri) 09:38:01

Re: 逆関数 / aki
はい携帯のです。ですからあまり指定ができないみたいで…(>_<)取り敢えず次は一番低いものにしてみます。
(1)は解答例だと少しよくないということで、解答例も背離法ですが、違う背離法で示すということですか?
ちょっとよくわからなくてごめんなさい…

No.6844 - 2009/07/20(Mon) 19:20:33

Re: 逆関数 / angel
> (1)は解答例だと少しよくないということで、
はい。
何が良くないか、というと、y≠a/c を示すくだりがほぼ無駄に見えるところですね。
もっと大事なのは、分母を払っても条件が同値であること、つまり分母が 0 のケースを除外できている保証です。
そのために、背理法を使って、「ax+b=cx+d=0 は成立しない」ことを示すのが良いです。

なお、これと「a=c=0 は成立しない」をあわせると、y=(ax+b)/(cx+d) が定数関数にならないことも示しています。定数関数になってしまうと、逆関数が存在しませんから、定数関数にならないことを示すのは、逆関数の存在を保証していることにもなるのです。

No.6856 - 2009/07/21(Tue) 21:54:23

Re: 逆関数 / aki
では、そもそもax+b=cx+d=0も示す必要はないと思うのですが…
f(x)の関数として示されている以上、分母=0ではないことの条件は含んでいるのが当たり前な気がします…

だから結局angelさんが最初におっしゃった通り何も証明はここではいらないということでいいということになるのではないでしょうか?

また(2)ですが、f(x)=f(−1)(x)をそのまま係数比較して最初にa=−dという条件をすぐに出してしまったのですがそれではだめなのでしょうか?
それとも解答のように式を作って長々と計算をするのはなぜですか?

すみませんがお願いします(>_<)

No.7380 - 2009/08/10(Mon) 18:38:05

Re: 逆関数 / angel
まず説明しやすい方から。

> f(x)=f(−1)(x)をそのまま係数比較して最初にa=−dという条件をすぐに出してしまったのですがそれではだめなのでしょうか?

これはダメです。
恒等式かどうかを調べるために、係数比較をするよう習ったのは、整式だけのはずです。
今回は分数式ですからそのままではダメです。解答例にあるように、分母を払って整式の比較に持っていかないといけません。
※…確かに分数式の係数比較で済めばラクですけどね。

で、なぜダメかといえば、反例があるからです。
 (x+2)/(x+1)=(2x+4)/(2x+2)
各係数は違いますが、恒等式が成立しています。
恒等式が成立しているからといって、即「係数が等しい」と判断してしまうと、こういった例外を取りこぼすことになります。
※もしたまたま結果的に答えが合っていたとしても、例外を考慮しない解法では大幅減点を覚悟せざるをえない。

No.7403 - 2009/08/11(Tue) 00:36:04

Re: 逆関数 / angel
後は、ちょっと説明し辛い方を。

> では、そもそもax+b=cx+d=0も示す必要はないと思うのですが…

もともとの(1)の解答例にせよ、私の説明にせよ、何を一番気にしているかと言えば、「本当に逆関数があるのか」なのです。
問題では「逆関数を求めよ」といっていますが、「必ず逆関数はあるよ」という保証はしてくれないのです。
今回は、ad-bc≠0 という条件がありますので、結果的に「必ず逆関数がある」という状況ではありますが、それはこっちで確かめないといけないわけです。

実際、ad-bc≠0 という条件を取っ払うと、y=(2x-2)/(x-1) といった、逆関数の無い例が作れます。( 約分できて、結果 y=2 (x≠1) という定数関数 )
逆の見方をすると、y=(定数) という形にさえならなければ、分数関数は双曲線の形のグラフになるものなので、必ず逆関数を持つことが分かります。
※そういった視点で解答例を見ると、y≠a/c に拘っている訳が分かります。これは、「yは定数関数ではないよ」と言いたいのです。が、いかんせん書き方がダサいので、私はボツ扱いにしたのです。

No.7406 - 2009/08/11(Tue) 01:06:55

Re: 逆関数 / angel
続き。
で、私が「分子=分母=0 になることはない」「a=c=0 となることはない」を、まず示すことにしたのは、逆関数の存在を保証することなく話が終わるからです。

一般に、A=B/C という等式があった場合、AC=B は成立します。
しかし、AC=B だからといって A=B/C が成立するとは限りません。反例は B=C=0 ですね。
ということは、A=B/C よりも AC=B の方が緩い(広い)条件であることになります。そうすると、AC=B の時に成立することを調べても、A=B/C の時に成立することよりも大雑把すぎてノイズを含んでいる可能性があるわけです。

なので、y=(ax+b)/(cx+d)⇒y(cx+d)=ax+b⇔…⇔x(cy-a)=-dy+b
という式変形を行って、逆関数 y=(-dx+b)/(cx-a) と言うと、「ax+b=cx+d=0 に由来するノイズ x=-b/a から、ニセの逆関数 y=-b/a が見えているだけではないか」というツッコミを喰らいかねません。

しかし、B=C=0 が成立しないことが分かっていれば、AC=B⇔A=B/C は同値変形です。
今回、ax+b=cx+d=0 は成立しないことが分かりますから、
 y=(ax+b)/(cx+d)⇔y(cx+d)=ax+b⇔…⇔x(cy-a)=-dy+b
は一連全て同値変形です。上で挙げたようなノイズが入り込む心配はありません。
で、逆関数化すれば、y=(-dx+b)/(cx-a) で、a=c=0 も成立していませんから、ちゃんとした関数です。
ノイズの入らない変形 ( 同値変形 ) を行って逆関数を求めたら、ちゃんとした関数になりました、という結果なので、何もしなくとも逆関数の存在を証明していることになります。

No.7408 - 2009/08/11(Tue) 02:13:05

Re: 逆関数 / aki
係数比較について


分数式は整式ではないということでしょうか?
似たような問題で
http://y.upup.be/?S9H6K9F1vk

http://q.upup.be/?ecMd2YaWx4
のようにしたのですが、これも間違えていたのでしょうか?(>_<)

証明について

ちょっと難しいです…高校数学でここまで考えなければならないのでしょうか…?(>_<)
結局解答には分母=0でないことの断りをいれるくらいではだめなのでしょうか?

No.7492 - 2009/08/16(Sun) 17:21:34

Re: 逆関数 / angel
うーん。その類題の場合は、微妙ですけど減点にはならないかもしれません。
なぜかというと、分母の x の係数が共に 1 で一致しているからです。これで恒等式になるとしたら、分母が共に x+2 となるパターンしかありえないことは明らかですから。
とはいえ、分数のままで係数比較をするのは、基本NGだと考えて下さい。

証明については…。
逆関数自体、あまり高校では厳密にやらないところなので、已むを得ないところかもしれませんね。
なお、分母が0かどうかというのは、気にする所ではないです。ので、分母≠0 という説明を書く意味はありません。
※分数関数自体が、分母≠0 という前提でできているものなので…
※私が 分子=分母=0 のケースを特別扱いしたのは、全然意味合いが違うのです

ただ、逆関数の存在について、何かしらコメントは入れないと流石にマズいので、現実的に以下のような案の方が良いでしょうか。
これは、模範解答例にあった「ここで y=a/cとすると〜したがって y≠a/c」の改善版であり、「定数関数でないから逆関数がちゃんとあるよ」という説明を行っているものになります。( これくらいは書かないと○にならないと思います )

---
 y=(ax+b)/(cx+d) は定数関数とはならない
 なぜなら、もし定数関数になると仮定した場合、
 i) c=0 の場合
  定数関数となるには a=0 が必要だが、すると a=c=0 のため、ad-bc≠0 に反する
 ii) c≠0 の場合
  定数関数となるには、分子が分母で割り切れる必要があるため、
  ax+b=a/c・(cx+d) となるが、すると定数項を比較して b=ad/c となるため、ad-bc≠0 に反する
 というように、いずれにしても矛盾が生じるためである。
 ※ここまで背理法による証明

 であれば、y=(ax+b)/(cx+d) のグラフはx軸・y軸に平行でない直線 ( c=0 の場合 ) もしくは、x軸・y軸に平行な軸を持つ双曲線となるため、逆関数は確かに存在する。

No.7523 - 2009/08/18(Tue) 01:37:09

Re: 逆関数 / aki
お返事が遅くなって申し訳ありません。
記述についてはやっと理解しまさた。
ただ一つ、yc−a≠0はそもそも示さなくてよいというのはなぜでしたでしょうか?
式変形の結果から出てきたものであり分母でないので自明とはいかないと思ったのですが…

何回も似たようなことをループしていて申し訳ないのですがお願いします…

No.7995 - 2009/09/17(Thu) 21:47:40

Re: 逆関数 / aki
もう一つ質問があります。
元々の問題は
http://y.upup.be/?XoNOELQkvg
ですが、
(3)はそのまま逆関数の式=合成関数
を計算するとき、
そのまま展開すると
http://t.upup.be/?QPJOgjSFSo
のようになり
答えのように
http://u.upup.be/?Dffhm1KKse
きれいに因数二つで囲むに至る事ができませんでした。
すみませんが計算のどこが悪いか教えて下さい。
宜しくお願いします。

No.8003 - 2009/09/17(Thu) 23:13:35

Re: 逆関数 / ヨッシー
http://t.upup.be/?QPJOgjSFSo
の式がどのようにして出来てきたのかわからないと、
どこが悪いかもわかりませんが、模範解答は、非常に
丁寧に書かれているので、ひとつひとつたどって行ってはどうでしょうか?
見るからに、符号が間違っていそうですが。

No.8022 - 2009/09/19(Sat) 06:33:16

Re: 逆関数 / aki
ヨッシーさん助かります。
わかりました。

また、yc−aについてはどうでしょうか?
お答えいただけると助かります。

No.8028 - 2009/09/19(Sat) 17:28:50