途中の過程から既にわかりません。
どなたか途中式と答えを教えていただけないでしょうか
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No.68226 - 2020/07/22(Wed) 10:18:51
| ☆ Re: / ast | | | (1),(2)をまとめて回答します (というか (1) が解けた時点で (2) もほとんど全部終わってるんだよなあ……)
0< α< 1, および 1/α = 1+α が成り立つことに注意すれば, a(α)=1, f(α)=α であることは容易に確かめられるので, x_{0}:=α かつ x_{n}=f(x_{n-1}) から明らかにすべての n=0,1,2,… に対して x_{n}=x_{0}=α, したがってすべての n=1,2,3,… に対して a_{n}=a_{1}=a(α)=1 となることがわかる.
この問題は, 答えよりも, この手続き (アルゴリズム) で連分数展開が求められる理由を理解することの方が重要なのではないかと思います.
原理的には,
[i] 0< x< 1 となる実数 x に対して 1/x は x の "(分子を 1 としたときの) 分母" を取り出す操作になること,
[ii] 任意の実数 x に対して x-[x] は x の小数部分を表すもの (とくに 0< x-[x]< 1) であり, x= [x]+(x-[x]) は x の整数部分と小数部分の和への分解となること
などがわかれば理解は十分だと思います. i,ii から f(x) は x (0< x< 1) に対して, (x を分子 1 の分数として書いたとき,) その分母の (整数部分 a(x) を残余として) 小数部分だけまたとりだす (言い方がややこしいなこれ…) という手続きを表す写像 (函数) になっていることが導かれます.
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No.68228 - 2020/07/22(Wed) 13:07:35 |
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