[ 掲示板に戻る ]
記事No.68299に関するスレッドです
★ 学校の課題なんですが・・・ / とある学生
画像の問題の二番の「数列を作り証明せよ」の部分が分かりません。
同じ性質を持つと言うことは（1）と同様にｈの値を定めたときにe^xに収束するような数列ということなのは分かります。

また、担当の先生に聞いたところ（1）と同じようにすればできるそうなのですが与えられた微分方程式を解いて（1）と同様の操作をすると

（1＋ｘ/N）^NX

となり、e^xに収束しません。一応調べてみましたが、括弧内のｘの部分が位置のときにeに収束するというものしかありませんでした。（xの部分が1でなくともeに収束するという記事はありませんでした）

一週間ほど地道に考えていたんですがなかなか解けないのでお助けください。
No.68299 - 2020/07/24(Fri) 14:44:48
☆ Re: 学校の課題なんですが・・・ / ast
詳しくはよく知りませんが,

> e^xに収束するような数列ということなのは分かります。
> となり、e^xに収束しません。
y'=-xy の解は (最初に解くよう指示があるのでわかっているはずだけど) e^x ではないので, そもそも目標が誤っていますから, その方針だとやるだけ無駄ということになるかと.
# 2. の後半で exp(-(kh)^2/2) の値と比較せよと書かれているのだから, 目標の函数が何かは
# もうバレバレの状態からのスタートのはずなのだが……

微分を定義する極限 y'(x)=lim (y(x+h)-y(x))/h を離散的な差分 (y(x+h)-y(x))/h で近似して x=x_k のとき y(x_k+h)=:y[k+1], y(x_k)=:y_k と書けば, 1 のときは考える方程式が y'(x)=y(x) だったから問題の数列を定義する漸化式は (y[k+1]-y[k])/h = y[k] になっていた (特に右辺の y[k] は微分方程式の右辺から来てる) わけで,
> 担当の先生に聞いたところ（1）と同じようにすればできる
とはそういう離散近似列の作り方 (たぶん差分スキームとか呼ばれてたりするやつですよね) という意味で同じようにすればいいと仰ったものかと. だから 2. の方程式 y'=-xy の離散化になっているような漸化式をつくらなければいけない.
No.68308 - 2020/07/24(Fri) 16:57:59