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記事No.68321に関するスレッドです
★ (No Subject) / うい
d/dx∫f(t)dt＝f(x)
を使って考えるのだろうな、とは思うのですが
うまく使えずx^2+x-2
になるのがわかりません。
教えてください
No.68321 - 2020/07/24(Fri) 23:36:17
☆ Re: / X
解答の前に一言。
>>d/dx∫f(t)dt＝f(x)
ですが
∫f(t)dt
は独立変数がtですので
成立しません。

成立するのは
積分範囲の上端がx、下端が定数である積分に対して
(d/dx)∫[a→x]f(t)dt=f(x) (A)
或いは独立変数がxである不定積分に対して
(d/dx)∫f(x)dx=f(x)
です。

それで(A)の見方ですが、(A)の左辺の被積分関数の
f(t)
の独立変数tをxに入れ替えたものが
(A)の右辺になる、という考え方で
問題ありません。
No.68327 - 2020/07/25(Sat) 00:31:58
☆ Re: / ヨッシー
公式そのまま使うなら、
　(d/dx)∫[a〜x]g(t)dt＝g(x)
において、g(x)＝x^2＋x−2 であるので、そのまま
　f(x)＝g(x)＝x^2＋x−2

公式の証明をするなら、
g(x) の原始関数をG(x) とすると、dG(x)/dx＝g(x)
　∫[a〜x]g(t)dt＝G(x)−G(a)
G(a) は定数なので、
　(d/dx)∫[a〜x]g(t)dt＝dG(x)/dx＝g(x)

公式を使わないなら、
　∫[a〜x](t^2＋t−2)dt＝[t^3/3＋t^2/2−2t][a〜x]
　　＝x^3/3＋x^2/2−2x−(a^3/3＋a^2/2−2a)
よって
　f(x)＝(d/dx)∫[a〜x](t^2＋t−2)dt
　　＝(d/dx){x^3/3＋x^2/2−2x−(a^3/3＋a^2/2−2a)}
　　＝x^2＋x−2
No.68328 - 2020/07/25(Sat) 00:32:48