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記事No.68415に関するスレッドです
★ ベクトル場がスカラー場のグラディエンド出かけるための条件 / にゃにゃし
2枚目最後の(10.3.19)がよく分かりません。
線積分の定義は
lim[N→∞]?納i=1→N]Δr(i)・V(i)
r(i)、V(i)はベクトル
であり恐らくΔrの間のVが定ベクトルと近似してその誤差分をo(Δr)と書いているのでしょうがなぜ誤差がこのようにかけるのかよく分かりません。なんとなくなるのだろうだなというのは分かるのですがきっちりと定量的に理解できません。よろしくお願い致します。
No.68240 - 2020/07/22(Wed) 18:10:35
☆ Re: ベクトル場がスカラー場のグラディエンド出かけるための条件 / にゃにゃし
二枚目です。
No.68241 - 2020/07/22(Wed) 18:11:39
☆ Re: ベクトル場がスカラー場のグラディエンド出かけるための条件 / ast
これ前に見たときも思ったけど, 線積分の定義 (特に定義に用いたある種のリーマン和の「極限が定まる」とはどういうことかに関する議論) をもうちょっとちゃんと引用しないとコメントしようがないと思いますよ.
おそらく
> なぜ誤差がこのようにかけるのか
ではなく, 誤差がそういうオーダーにないなら極限は無いという必要条件だと思います.
No.68280 - 2020/07/23(Thu) 18:10:36
☆ Re: ベクトル場がスカラー場のグラディエンド出かけるための条件 / にゃにゃし
> これ前に見たときも思ったけど, 線積分の定義 (特に定義に用いたある種のリーマン和の「極限が定まる」とはどういうことかに関する議論) をもうちょっとちゃんと引用しないとコメントしようがないと思いますよ.
> おそらく
> > なぜ誤差がこのようにかけるのか
> ではなく, 誤差がそういうオーダーにないなら極限は無いという必要条件だと思います.

返信ありがとうございます。
つまり、誤差がそのようにかけるようなΔrをがんがえるということでしょうか？
No.68297 - 2020/07/24(Fri) 13:20:49
☆ Re: ベクトル場がスカラー場のグラディエンド出かけるための条件 / ast
> つまり、誤差がそのようにかけるようなΔrをがんがえるということでしょうか？
違うと思います. 線積分が存在することがそもそも話の大前提なので「どのような Δr でも (つまり任意の折れ線近似に対して) かならず誤差がそのような範囲内にある」というのもその大前提には含まれるはずだろう, という話です.

改めて伺いますが, お使いのテキストには線積分を定義する極限 (No.68240で引用された式のことではありますが, 引用されたあの式だけでは意味が不明瞭です) をどう定式化しているのか, およびその極限の取り方について書かれているはずの部分 (段落なのか節が設けられているのかわかりませんが) をちゃんと引いてみてください.
# 引用された式は積分路を折れ線で近似したときの分点の数N→∞なる極限に見えるので,
# それならば, 折れ線の各線分の長さの上限 (たぶん |Δr(i)| みたいな記号でかかれてそう) が
# 0 になるときのある種の「リーマン和」の収束値として線積分が定義されているということのはずです.
# テキストが「線積分の定義に戻ると」と言って誤差のオーダーをそう書いている以上は, こういったことが
# 線積分を定義した箇所で書かれてるはず (じゃないとしたらすごく違和感あるので).
No.68307 - 2020/07/24(Fri) 16:18:27
☆ Re: ベクトル場がスカラー場のグラディエンド出かけるための条件 / にゃにゃし
> > つまり、誤差がそのようにかけるようなΔrをがんがえるということでしょうか？
> 違うと思います. 線積分が存在することがそもそも話の大前提なので「どのような Δr でも (つまり任意の折れ線近似に対して) かならず誤差がそのような範囲内にある」というのもその大前提には含まれるはずだろう, という話です.
>
> 改めて伺いますが, お使いのテキストには線積分を定義する極限 (No.68240で引用された式のことではありますが, 引用されたあの式だけでは意味が不明瞭です) をどう定式化しているのか, およびその極限の取り方について書かれているはずの部分 (段落なのか節が設けられているのかわかりませんが) をちゃんと引いてみてください.
> # 引用された式は積分路を折れ線で近似したときの分点の数N→∞なる極限に見えるので,
> # それならば, 折れ線の各線分の長さの上限 (たぶん |Δr(i)| みたいな記号でかかれてそう) が
> # 0 になるときのある種の「リーマン和」の収束値として線積分が定義されているということのはずです.
> # テキストが「線積分の定義に戻ると」と言って誤差のオーダーをそう書いている以上は, こういったことが
> # 線積分を定義した箇所で書かれてるはず (じゃないとしたらすごく違和感あるので).

返信ありがとうございます。
返信が遅くなってしまって申し訳ありません。
線積分の定義をこのように書かれています。自分の理解では上に書いた物が線積分の定義だと認識していたのですがここに書かれていることも同じではないでしょうか？(勘違いかもしれません。)
まだご覧になられていましたらよろしくお願いします。
No.68415 - 2020/07/26(Sun) 17:53:52
☆ Re: ベクトル場がスカラー場のグラディエンド出かけるための条件 / ast
おっと, レスがあったことに気付きませんでした, すみません.
# どの部分に対するレスなのか分りにくいので, 全文引用は控えていただけると読みやすくなるとおもいます.
# 必要な部分だけ残して消すか, いっそのこと返信ボタンの横にある引用のチェックを外してください.
# (チェックを外した場合は, 手動で必要部分をコピペして引用符 ">" を行頭に付けることになりますが……)

やはり, No.68307のコメント部分の指摘はあっていたようです (指摘内容ほぼそのままがテキストに書かれていますね).
> ここに書かれていることも同じではないでしょうか？
同じなのは (10.2.5) だけで, それしか見ていないから同じと思えるのだと思います ((10.2.5) は極限に名前を付けただけで, 何のどういう意味の極限なのかはそれ以前に長々書かれていて, そっちの部分のほうが中身を表している重要な部分だ, ということです).
それで, p.586の最後の行の式 (10.2.4) とその但書きに, ちゃんと積分路の近似に対して誤差のオーダーがどの程度かもはっきり明記されてますよね.
# この誤差はつまり, ?? で書かれた和の limit をとる前と後の誤差です.
## なお, どっちからみた誤差か (つまり誤差の符号がプラスかマイナスか) はあんまり関係ない
## (ということも o(|Δℓ_i|) の意味から分かると思う)
この誤差がどこから来ているのかはその一つ前の (10.2.3) のところに書いてあって, もともとの質問である (10.3.19) (の右辺) は ∑ 配下に項が一つのときの (10.2.4), それは結局のところ (10.2.3) に他なりませんから, 最初の疑問の答えはそこにあるということになります.
# もしもそこを読んでもピンとこないということであるならば, そこに書かれている
# > 166ページの (4.1.5) 周辺の考察
# を参照することになるのではないでしょうか (それで分かるのかはあまり確信がない).
No.68494 - 2020/07/29(Wed) 13:56:14