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記事No.68453に関するスレッドです
★ 偏差値と標準偏差についての質問 / くるみ(数学苦手だけど好き！)
中2なのですが、興味本位で、偏差値について調べてみました。標準偏差が散らばりを表しているものであること、偏差値を使うことで平均値よりも正確に、自分のテスト結果について考えられること、は低能な私でも理解できました。

偏差値の求め方の一部で、
(自分の得点-平均点)/標準偏差
と書いてある部分がありました。個人的には、ここの部分が、偏差値を求める上で大切だと考えています。
しかし、なぜ、標準偏差で割ることで偏差値を求められるのでしょうか？　標準偏差を使うことが大切だというのはわかったのですが、割る理由がわかりません。

また、平均点から外れた点数を取りやすいテストで偏差値を下げることには、何の意味があるのでしょうか？(計算方法的にそうなると思います。)

2つのうちどちらかでもいいので、たくさんの回答をお願いします……！
No.68442 - 2020/07/27(Mon) 21:20:23
☆ Re: 偏差値と標準偏差についての質問 / ヨッシー
数十人規模のテストでは分かりませんが、もっと多い人数での
点数は、正規分布という分布になると言われています。
実際に、ぴったりそうなっていなくても、そうなっているものとして、
点数の評価をする場合が多いです。

正規分布では、
　平均から平均＋標準偏差の間に全体の34.13%
　平均から平均−標準偏差の間にも全体の34.13%
　平均から平均＋標準偏差×２の間に全体の47.72%
　平均から平均−標準偏差×２の間にも全体の47.72%
　平均から平均＋標準偏差×３の間に全体の49.87%
　平均から平均−標準偏差×３の間にも全体の49.87%
が含まれていることになっています。
そうすると、
　平均＋標準偏差×３より上には、0.13％ しかいない
ことになります。

ところで、標準偏差は毎回違うので、自分がどの位置にいるかは
都度計算しないといけません。
そこで、平均を５０，標準偏差１つ分を１０、として計算した値を使えば、
　５０から６０の間に全体の34.13%
　５０から４０の間にも全体の34.13%
　５０から７０の間に全体の47.72%
　５０から３０の間にも全体の47.72%
　５０から８０の間に全体の49.87%
　５０から２０の間にも全体の49.87%
と書き換えられます。この数値が偏差値です。
　偏差値＝(自分の得点−平均点)／標準偏差×１０＋５０
です。

同じ平均５０点でも、
ほとんどの人が５０点近辺の得点である(標準偏差が小さい)中で取る１００点と、
平均は５０点だが、８０点や９０点もそこそこいて(当然２０点や１０点も)、
そんな中（標準偏差が大きい）で取る１００点とは、わけが違います。
前者は、集団よりずば抜けて良いので、偏差値は高く、後者は低いのです。
（といっても、８０か７０かの違いで、１００点が素晴らしいことには変わりありません）

偏差値は、このように、自分の位置がわかりやすいように決められた数値で、
「割る理由」は、偏差値いくつ分離れているかを知るため、です。

>平均点から外れた点数を取りやすいテストで偏差値を下げる
とは、どういうことでしょうか？
前述の、平均付近に多くの人が固まっているテスト結果より、
上下適当に散らばっている方が、標準偏差は上がり、
８０などの飛び抜けた偏差値は出にくくなりますが、
下も２０などの飛び抜けて低い偏差値も出ないので、一概に偏差値が下がるとは言えません。

考えられるのは、標準偏差が小さい（密集型）だと、１点２点の差が、
大きく偏差値に響くので、本当の実力を測れないということはあるかもしれません。
No.68451 - 2020/07/27(Mon) 23:35:26
☆ Re: 偏差値と標準偏差についての質問 / 関数電卓
詳しい説明はヨッシーさんのものを読んでもらうとして，ひとつの例を。
クラス内の試験で，あなたは数学で68点，社会で75点取りました。どちらも平均点は50点でしたが，得点分布は図のようになっていました。どちらの方が価値が高い (＝偏差値が高い) 得点かわかりますか？
数学は標準偏差が小さく，社会は大きいのです。
No.68453 - 2020/07/27(Mon) 23:46:27
☆ Re: 偏差値と標準偏差についての質問 / くるみ
なるほど……。勘違いしていた点もありましたが、なんとなく理解できました。お2人とも、ありがとうございます……！
いつか習う(はず)ですので、その時までにもっと頑張ります……！
ありがとうございました！
No.68461 - 2020/07/28(Tue) 06:28:26