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記事No.6853に関するスレッドです
★ 2次関数の最大最小 / 祐巳　高3
xの定義域Sを次のように定める。
-1≦x≦(3a+1)/2 (ただし-1≦a≦-1/3)、(3a-1)/2≦x≦(3a+1)/2 (ただし-1/3≦a≦1/3)、(3a-1)/2≦x≦1 (ただし1/3≦a≦1)
xの関数f(x)=x^2-2ax+2a^2+4の、定義域Sにおける最大値と最小値を求めなさい。

f(x)=(x-a)^2+a^4+4なので軸はx=a。
定義域に文字が含まれていて、しかもその文字が軸になっていて、軸と定義域の位置関係が分からないです。
どんなふうに考えて解くのか教えてください。お願いします。
No.6849 - 2009/07/21(Tue) 17:20:20
☆ Re: 2次関数の最大最小 / angel
位置関係がわからなければ…
グラフを描けば良いではないですか。

というわけで描いてみました。
横軸が a ( -1≦a≦1 )、縦軸が S の範囲ということで x、
赤線のグラフが S の下限、青が S の上限、灰色のグラフが放物線の軸 ( x=a ) を表します。

こうしてみると、軸の部分は必ずSに含まれるので、f(x) の最小値は f(a) と分かります。
最大値は…、というと、軸から最も離れたところの値ですから、a≧0 の場合は S の上限で、a<0 の場合は S の下限で、ということになります。
No.6853 - 2009/07/21(Tue) 21:10:53
☆ Re: 2次関数の最大最小 / 祐巳　高3
解答ありがとうございます。

『位置関係がわからなければ…グラフを描けば良いではないですか。』

こういう考え方は初めてなんですが、これはどの辺で習うことなんでしょうか(一応数Bまでは終わってます)?
とくに水平軸をa軸に、鉛直軸をx軸に充てられていますが、これは全く見たことがないです。調べてみたけど見つからないです。どうしてこういう軸の取り方をされているのですか？
No.6859 - 2009/07/22(Wed) 05:34:35
☆ Re: 2次関数の最大最小 / ヨッシー
ａの値によって、ｘの範囲がどう変わるかをみたいので、
ａとｘのグラフになります。

>これはどの辺で習うことなんでしょうか
小学校で、比例のグラフを描いたとき
中学校で、一次関数のグラフを描いたとき
の知識の応用ですね。

もちろん、a=-1 のとき、a=-2/3 のとき、a=-1/2 のとき a=-1/3 のとき・・・
のように、調べていっても出来ますが、グラフのように
いろんな情報を一度に与えてはくれません。
ここでいう情報の主なものは、
　ｘ＝ａ は必ず、定義域に含まれること
　ａ＜０ では、Ｓの下限、ａ＞０では上限の方が軸より遠いこと
です。
No.6861 - 2009/07/22(Wed) 09:16:27
☆ Re: 2次関数の最大最小 / 祐巳　高3
よくわかりました。ありがとうございました。
No.6871 - 2009/07/22(Wed) 23:38:57