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記事No.68679に関するスレッドです
★ 複素解析 / meow
原点を中心とし，半径1の円を正の方向（左回り）に1周するときの，周回積分の問題です．
(1)から解き方がわかりません．
二項定理で展開してから，z=e^{iθ}と置いて，dz=ie^{iθ}dθと置いてから代入する方法だとうまく解けません．
解き方について教えていただきたいです．
No.68679 - 2020/08/04(Tue) 01:48:33
☆ Re: 複素解析 / meow
(1)は8πi
(2)は-2π
でよろしいでしょうか．
確認をお願いしたいです．
No.68680 - 2020/08/04(Tue) 02:41:00
☆ Re: 複素解析 / meow
(3),(4)がわかりません．
(3)は極を求めるとz=±2(2位)なのですが，留数定理を用いると，448πi/4 - 1152/16が答えとなりましたが，明らかに値がおかしいとおもいます．
No.68681 - 2020/08/04(Tue) 03:16:04
☆ Re: 複素解析 / ast
(1),(2) はそれでいいです.
(3) は被積分函数の極は正しく求まっていますが, 積分路 C はそれら極をまったく囲まないので, 積分値は明らかに 0 です.
C が半径 >2 の円だった場合は, おそらく (-72+112i)π ではないかと思います.
> 明らかに値がおかしいとおもいます．
明らかなのは約分忘れてることくらいで, 約分すれば単なるケアレスミス程度の話ではないかと.
(4) は z=0 にある一位の極だけが囲まれるので lim[z→0] z*sin(z)/(1-cos(z)) = lim[z→0] sin(z)/z * 2*(z/sin(z/2))^2 = 2 から 4πi.
No.68682 - 2020/08/04(Tue) 05:05:55
☆ Re: 複素解析 / meow
astさん
まったく自信がなかったので助かりました。
(3)については半径1ということを忘れてました。
回答ありがとうございました！
No.68686 - 2020/08/04(Tue) 09:26:37