[ 掲示板に戻る ]
記事No.68785に関するスレッドです
★ 不等式の証明 / あか
画像の問題の解き方を教えてください。
sinxをマクローリン展開してとこうとしてもうまくいきませんでした
No.68785 - 2020/08/08(Sat) 01:53:01
☆ Re: 不等式の証明 / WIZ
f(x) = sin(x)-ax とおくと、f'(x) = cos(x)-a です。

(A) a ≦ cos(1) の場合
x ∈ (0, 1) で cos(x) は単調減少なので、cos(x) > cos(1) > 0 が成立します。
よって、a ≦ cos(1) ならば、 f'(x) > 0 となり、f(x) は単調増加となり、f(x) > f(0) = 0 となります。
よって、この場合、f(x) < 0 となる x は存在しません。

(B) a > cos(1) の場合
0 < x < arccos(a) で f'(x) > 0 なので、f(x) は単調増加、この範囲で f(x) > f(0) = 0 です。
x = arccos(a) で f'(x) = 0 なので、f(x) は極大、f(x) > 0 です。
arccos(a) < x < 1 で f'(x) < 0 なので、f(x) は単調減少です。
この範囲で、f(x) > f(1) = sin(1)-a*1 ですので、
f(1) = sin(1)-a < 0 つまり sin(1) < a なら題意の x は存在し、sin(1) ≧ a なら存在しないと言えます。

sin(1) > cos(1) ですので、(A)(B)より「a > sin(1) なら成立し、a ≦ sin(1) なら成立しない」となります。

# 勘違い、計算間違いしていたらごめんなさい!
No.68799 - 2020/08/08(Sat) 14:58:34