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記事No.68962に関するスレッドです
★ 大学の幾何学の証明問題です / ブラッドマミ
S_oはx軸対称変換を表し、Ｒ_θは原点oに対して反時計回りに回転移動する変換です。これがS_o〇R_θ〇S_o=R_-θが示せません。誰か分かる方教えてください。よろしくお願いします。
No.68962 - 2020/08/13(Thu) 20:39:03
☆ Re: 大学の幾何学の証明問題です / ast
示せない, と一口に言っても, 示すべきことが何なのか分からないとか, 示すべきことはわかるがその方法が分からないとか, 示すべきことも方法も分かるのに期待通りの結論にならないとか, 全然違う状況がいくつもあるのですが, 質問者さんの意図はどれにあたるのか, もう少し明確になりませんか?

[4-0] 最初に基本的なことですが, 平面ベクトル (x;y) (縦に x,y を並べた縦ベクトル) に対して, S_o(x;y) および R_θ(x;y) を計算した結果の値 ((x;y) の像となる平面ベクトル) はわかりますか? (というか, 仮にこの質問にNoと答えが返ってきた場合には, そもそもこの問題を解く段ではないので, 私は手を引きますが……)
[4-i] 定義通りに言えば, S_o∘R_θ∘S_o = R_{-θ} が成り立つということは, 任意の平面ベクトル (x;y) に対して (S_o∘R_θ∘S_o)(x;y) = R_{-θ}(x;y) が成り立つことです. このことは問題文からちゃんと読み取れますか? そして右辺や左辺がどういうベクトルなのかどこまでちゃんと計算できますか?
[4-ii(a)] 線型写像 (一次変換) はその線型性から, 基底の行き先で決まる (基底の行き先を線型に拡張すれば元の線型写像が復元できる) ことは理解していますか?
[4-ii(b)] (a) により「(S_o∘R_θ∘S_o)(1;0) = R_{-θ}(1;0) かつ (S_o∘R_θ∘S_o)(0;1) = R_{-θ}(0;1) が成り立つ」ことを示せば [4-i] と同値になり, 所期の等式が成り立つことが言えるということは理解できますか?
[4-iii] [4-i(a,b)] で得られた結果は, それらを横に並べた行列として

　(S_o∘R_θ∘S_o)((1;0),(0;1)) = R_{-θ}((1;0),(0;1))

が成り立つと言っても同じであることはわかりますか?
[4-iv] 上で述べた i-iii のどれもが同値な内容を示しているので, どの形で証明を書くこともできるわけですが, 例えば iii の述べ方であれば, 右辺は明らかに R_{-θ}((1;0),(0;1)) = ((cos(-θ);sin(-θ),(-sin(-θ),cos(-θ))) = ((cos(θ);-sin(θ),(sin(θ),cos(θ))) だから, 左辺もそうなることを言えばいい, といったようなことはわかりますよね?

いくつも逆質問する形になりますが, なるべく全部に応答してもらえればもっとまともな回答もできるようになると思います.
No.68965 - 2020/08/14(Fri) 02:08:55
☆ Re: 大学の幾何学の証明問題です / ブラッドマミ
単純に言えば左辺の変換から右辺の変換が導けないということです。ノートで計算してもどこが間違っているかが気づけません。ノートの画像を張りますので、指示お願いします。
No.69017 - 2020/08/15(Sat) 21:44:09
☆ Re: 大学の幾何学の証明問題です / ast
これはさすがにまともに読めないです (なんとなく, No.68965 で言うところの i の方針で書いてあるっぽいですけど, それ以上はあまり読み取れない (とくに [4-0] で書いた内容の理解に問題が無いかすらこれでは確認できない)) のでいまのところこのノートの画像は無視することとしますが,
> ノートで計算してもどこが間違っているかが気づけません。
という部分に対してきちんと回答すべきだと私自身も考えますので, もうちょっと他人に読ませて大丈夫な質問用ノートを清書して提示してください.

とりあえず, i の方針でやるなら以下の通りです:
　(S_o∘R_θ∘S_o)(x;y)= (S_o∘R_θ)(x;-y)
　=S_o(x*cos(θ)+y*sin(θ); x*sin(θ)-y*cos(θ))
　=(x*cos(θ)+y*sin(θ); -x*sin(θ)+y*cos(θ))
　=(x*cos(-θ)-y*sin(-θ); x*sin(-θ)+y*cos(-θ))
　=R_{-θ}(x;y).

# 個人的には, ii の方針で行列の計算するだけのほうが楽だと思いますけど.
No.69023 - 2020/08/15(Sat) 23:39:28
☆ Re: 大学の幾何学の証明問題です / ブラッドマミ
返信ありがとうございます。
結論から申しますと、
(S_o∘R_θ∘S_o)(x;y)= (S_o∘R_θ)(x;-y)=R_{θ}(x;y)
になると思いますが、間違ってますか？
No.69038 - 2020/08/16(Sun) 15:43:33
☆ Re: 大学の幾何学の証明問題です / ast
> 結論から申しますと、
> (S_o∘R_θ∘S_o)(x;y)= (S_o∘R_θ)(x;-y)=R_{θ}(x;y)
> になると思います
ならない (No.69023に書いた通りになる) ので, 何言ってるのかちょっと意味わからないですけど, (R_θ∘S_o∘S_o=R_θ なら正しいので, もしかして写像の適用順を勝手に変えている?) 根拠は何ですか?

どの変数が合成におけるどの写像の引数になるかわかるようにハッキリ変数の文字を変えて書けば, (x(u,v),y(u,v))=R_θ(u,v) かつ (u(s,t),v(s,t))=S_o(s,t) のとき (z(x,y),w(x,y))=S_o(x,y) を s,t の式で表せ, という意味の問題ですので, この変数に沿って根拠を述べてくれますか?
No.69050 - 2020/08/16(Sun) 21:37:36