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記事No.68996に関するスレッドです
★ わからないです… / みーさん
2の1/3乗が有理数を係数とする二次方程式の解にならないことを示せ

という問題です。全然わからないので、解説お願いします
No.68994 - 2020/08/15(Sat) 12:53:04
☆ Re: わからないです… / mathmouth
もっと簡単な解き方があると思いますが、とりあえず無難な背理法での証明を紹介します。
最後はaについて平方完成するほうがいいですね。
No.68996 - 2020/08/15(Sat) 13:21:11
☆ Re: わからないです… / YUKI
2^(1/3)が無理数であることは既知とします。

2^(1/3)が有理数を係数とする2次方程式x^2+ax+b=0
の解であるとする。x^3-2をx^2+ax+bで割ったときの
商をx+c,余りをpx+qとする。c,p,qは有理数。
x^3-2=(x^2+ax+b)(x+c)+px+q
x=2^(1/3)を代入すると0=p・2^(1/3)+q
p≠0とすると2^(1/3)=-q/pとなって2^(1/3)は有理数。
これは矛盾であるからp=0,q=0

x^3-2=(x^2+ax+b)(x+c)
x=-cを代入すると(-c)^3-2=0
従って-c=2^(1/3)となって2^(1/3)は有理数となり矛盾。
No.68997 - 2020/08/15(Sat) 13:22:27