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記事No.69139に関するスレッドです
★ たたみ込み積分について / えみ
画像の信号のたたみ込み積分 f(t)*u(t) の解き方をお教えいただきたいです。
u(t)は単位ステップ信号となっております。

難しい問題かもしれませんが、よろしくお願い致します。
No.69138 - 2020/08/20(Thu) 21:36:17
☆ たたみ込み積分について / えみ
こちらがその信号です。失礼致しました。
No.69139 - 2020/08/20(Thu) 21:38:43
☆ Re: たたみ込み積分について / X
畳み込み積分の定義により
f*u=∫[τ:0→t]f(τ)u(t-τ)dτ
∴
(i)t≦0のとき
f*u=0

(ii)0＜tのとき
f*u=∫[τ:0→t]f(τ)dτ
=…
(f(t)のグラフを見ながらｔについて
更に細かい場合分けをして定積分を計算します。)
No.69144 - 2020/08/21(Fri) 16:37:22
☆ Re: たたみ込み積分について / えみ
ご解答ありがとうございます。
ちなみに信号f(t)は、式に表すと
f(t)=tu(t)-2(t-α)u(t-α)+(t-2α)u(t-2α)
という形で合っていますでしょうか。その場合t=τとして書き換えるわけですが、この定積分は一体どのように計算すればよいでしょう…
No.69157 - 2020/08/22(Sat) 04:25:29
☆ Re: たたみ込み積分について / X
f(t)=tu(t)-2(t-α)u(t-α)+(t-2α)u(t-2α)
で問題ありません。

その場合だと部分積分が適用できますね。
例えば
g(t)の不定積分をG(t)としたとき
∫[τ:0+→t]g(τ)u(τ)dτ=[G(τ)u(τ)][τ:0+→t]-∫[τ:0+→t]g(τ)δ(τ)dτ
=G(t)u(t)-G(0)-g(0)
(注:δ(t)はDiracのδ関数です。但し、上記の計算は間違っているかもしれません。
もし間違っていましたらごめんなさい。)

これを使い、No.69144の(ii)の定積分
を計算すると
g(t)*u(t)=∫[τ:0→t]f(τ)dτ
=∫[τ:0→t]tu(t)dτ-∫[τ:0→t]2(t-α)u(t-α)dτ+∫[τ:0→t](t-2α)u(t-2α)dτ
=…
(第2項、第3項は適当な置換積分を行います。)
No.69158 - 2020/08/22(Sat) 05:59:25
☆ Re: たたみ込み積分について / えみ
X様
迅速かつ的確なご解答誠にありがとうございます。おかげで光明が見えました。この後すぐに取り掛かってみようと思います
No.69161 - 2020/08/22(Sat) 14:05:51